が素数となるような整数
をすべて求めよ。
解答例
フェルマーの小定理
フェルマーの小定理 - 数式で独楽する
により、
\begin{eqnarray}
n^3 -7n +9 & \equiv & n -7n +9 \mod 3 \\
&=& -6n +9 \\
& \equiv & 0 \mod 3
\end{eqnarray}なので、は3の倍数です。
また、
\begin{eqnarray}
n^3 -7n +9 &=& (n -1)n(n +1) -6n+9 \\
&=& (n -1)n(n +1) -6(n -1) +3 \\
&=& (n -1)(n^2 +n -6) +3 \\
&=& (n +3)(n -1)(n -2) +3
\end{eqnarray}なので、は
\begin{equation}
n = -3, 1, 2
\end{equation}のとき、素数3となります。
解説
簡単に書かれた問題こそ、非常に難しいという問題です。
解答例ではフェルマーの小定理を使って簡単に書いていますが、反則技の謗りを受けるかもしれません。
現実的な解法ですが、
\begin{array}{c|rrrrrrr}
\hline
n & -3 & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline
n^3 -7n +9 & 3 & 15 & 15 & 9 & 3 & 3 & 15 \\ \hline
\end{array}を問題用紙の余白に書いておいて、解答用紙に
\begin{eqnarray}
(3k +1)^3 -7(3k +1) +9 &=& 27k^3 +27k^2 + 9k +1 -21k -7 +9 \\
&=& 27k^3 +27k^2 -12k +3 \\
(3k)^3 -7(3k) +9 &=& 27k^3 -21k +9 \\
(3k -1)^3 -7(3k -1) +9 &=& 27k^3 -27k^2 -12k +15
\end{eqnarray}と書いてみると、は3の倍数であることは言うことができます。
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