分散の性質

分散は、

• 分布が平均に対してどの程度ばらついているか

の指標です。
表記は、などが使われています。

分散と平均には、次の関係が成り立ちます。

\begin{eqnarray}
V(X) &=& E \left( X^2 \right) - \left( E(X) \right)^2 \tag{1} \\
V(aX+b) &=& a^2 V(X) \tag{2}
\end{eqnarray}

つまり

• 分散は、2乗の平均と平均の2乗の差に等しい
• 定数倍の分散は、分散の2乗に等しい
• 定数の差は、分散に反映されない

ということです。

では、見ていきましょう。

式(1)を導くには、分散の定義と平均の性質を用います。
なお、平均値はです。
\begin{eqnarray}
V(X) &=& E \left( (X - m)^2 \right) \\
&=& E \left(X^2 - 2mX + m^2 \right)
&=& E \left( X^2 \right) - 2m E(X) + m^2 \\
&=& E \left( X^2 \right) - \left( E(X) \right)^2
\end{eqnarray}

式(2)も同様です。
\begin{eqnarray}
E \left( (aX + b)^2 \right) &=& E(a^2 X^2 + 2abX + b^2) \\
&=& a^2 E \left( X^2 \right) + 2ab E(X) + b^2 \tag{3} \\
\left( E(aX + b) \right)^2 &=& \left( a E(X) + b \right)^2 \\
&=& a^2 \left( E(X) \right)^2 + 2ab E(X) + b^2 \tag{4}
\end{eqnarray}
式(3), (4)より、
\begin{eqnarray}
V(aX+b) &=& E \left( (aX+b)^2 \right) - \left( E(aX+b) \right)^2 \\
&=& a^2 E \left (X^2 \right) - a^2 \left( E(X) \right)^2 \\
&=& a^2 V(X)
\end{eqnarray}となります。