関数のフーリエ変換を
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx
\end{equation}と表記することとします。
余弦、正弦関数のフーリエ変換
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [\cos ax] &=& \pi \left \{ \delta(q -a) +\delta(q +a) \right \} \\
\mathcal{F} [\sin ax] &=& i \pi \left \{ \delta(q +a) +\delta(q -a) \right \}
\end{eqnarray}
このことは、
- 指数関数のフーリエ変換
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ e^{iax} \right] = 2\pi \, \delta(q -a) \tag{1}
\end{equation}
- フーリエ変換の線型性
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ a \, f(x) +b \, g(x) \right] = a \, \hat{f} \! (q) +b \, \hat{g} (q) \tag{2}
\end{equation}
より導くことができます。
指数関数(引数は純虚数)のフーリエ変換 - 数式で独楽する
ディラックのデルタ関数 - 数式で独楽する
フーリエ変換の線型性 - 数式で独楽する
また、三角関数と指数関数の関係
\begin{eqnarray}
\cos ax &=& \frac{e^{iax} +e^{-iax}}{2} \tag{3} \\
\sin ax &=& \frac{e^{iax} -e^{-iax}}{2i} \tag{4}
\end{eqnarray}も用います。
指数関数と三角関数の関係 - 数式で独楽する
式(1)でを
に置き換えると、
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ e^{-iax} \right] = 2\pi \, \delta(q +a) \tag{1'}
\end{equation}となります。
式(1), (1')および(2)～(4)より、
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} [\cos ax] &=& \mathcal{F} \left[ \frac{e^{iax} +e^{-iax}}{2} \right] \\
&=& \frac{2\pi \, \delta(q -a) +2\pi \, \delta(q +a)}{2} \\
&=& \pi \left \{ \delta(q -a) +\delta(q +a) \right \} \\
\\
\mathcal{F} [\sin ax] &=& \mathcal{F} \left[ \frac{e^{iax} -e^{-iax}}{2i} \right] \\
&=& \frac{2\pi \, \delta(q -a) -2\pi \, \delta(x +a)}{2i} \\
&=& i\pi \left \{ \delta(q +a) -\delta(q -a) \right \}
\end{eqnarray}を得ます。
