四面体ABCDはAC=BD, AD=BCを満たすとし、辺ABの中点をP、辺CDの中点をQとする。
(1) 辺ABと線分PQは垂直であることを示せ。
(2) 線分PQを含む平面αで四面体ABCDを切って2つの部分に分ける。このとき、2つの部分の体積は等しいことを示せ。
小問(1)の解答例
ベクトルを次のように定めます。
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} = \vec{b}, \quad
\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \vec{c}, \quad
\overrightarrow{\mathrm{AD}} = \vec{d}
\end{equation}
AC=BD, AD=BCより、それぞれ
\begin{eqnarray}
\left| \vec{c} \right|^2 &=& \left| \vec{d} - \vec{b} \right|^2 \\
&=& \left| \vec{b} \right|^2 -2 \vec{b} \cdot \vec{d} + \left| \vec{d} \right|^2 \tag{1.1} \\
\left| \vec{d} \right|^2 &=& \left| \vec{c} - \vec{b} \right|^2 \\
&=& \left| \vec{b} \right|^2 -2 \vec{b} \cdot \vec{c} + \left| \vec{c} \right|^2 \tag{1.2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(1.1), (1.2)より、
\begin{equation}
\left| \vec{b} \right|^2 = \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{d} \tag{1.3}
\end{equation}を得ます。
一方、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AP}} &=& \frac{1}{2} \, \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AQ}} &=& \frac{1}{2} \left( \vec{c} + \vec{d} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{PQ}} &=& \overrightarrow{\mathrm{AQ}} - \overrightarrow{\mathrm{AP}} \\
&=& \frac{1}{2} \left( -\vec{b} +\vec{c} + \vec{d} \right)
\end{eqnarray}なので、式(1.3)を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}
&=& \frac{1}{2} \vec{b} \cdot \left( -\vec{b} +\vec{c} +\vec{d} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( -\left| \vec{b} \right|^2 + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{d} \right) \\
&=& 0
\end{eqnarray}を得ます。
よって、辺ABと線分PQは垂直であることが示されました。
小問(1)の解説
四面体について、長さの情報のみ与えられています。ベクトルを用いて解いていく場合、「線分の直交⇔ベクトルの内積が0」を目標にすることになります。
空間ベクトルなので、一次独立なベクトルを3つ指定することになります。計算が易しくなるように定めるとよいでしょう。本設問の場合、頂点の1つを基準にして3つの辺をベクトルに対応させています。
長さの条件からベクトルを拘束する条件が得られるので、この条件から内積を求めると、内積=0を得ることができます。
設問ではAB⊥PQを証明しましたが、CD⊥PQでもあります。
証明は、以下の通りです。
式(1.1), (1.2)より、
\begin{equation}
\left| \vec{c} \right|^2 - \left| \vec{d} \right|^2 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{d} \tag{1.4}
\end{equation}を得ます。
これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{CD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PQ}}
&=& \frac{1}{2} \left( -\vec{c} +\vec{d} \right) \cdot \left( -\vec{b} +\vec{c} +\vec{d} \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( -\vec{b} \cdot \vec{c} + \left| \vec{c} \right|^2 + \vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{d} + \left| \vec{d} \right|^2 \right) \\
&=& \frac{1}{2} \left( -\vec{b} \cdot \vec{c} + \left| \vec{c} \right|^2 + \vec{b} \cdot \vec{d} - \left| \vec{d} \right|^2 \right) \\
&=& 0
\end{eqnarray}となります。
