ポアソン分布

「ポアソン分布」とは、所定の時間内に事象が起こる回数の分布です。
事象が$k$回起こる確率は、
\begin{equation}
P(X=k) = e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \tag{1}
\end{equation}です。
ここで$\lambda$は、所定の時間に事象が起こる平均の回数です。

確率の和

確率の和は、当然1です。
\begin{equation}
\sum_{k=0}^\infty P(X=k) = \sum_{k=0}^\infty e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot e^\lambda =1 \tag{2}
\end{equation}式変形の後半は、
指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
を用いています。

平均

平均は$\lambda$です。
\begin{equation}
k \cdot \frac{\lambda^k}{k!} = \lambda \cdot \frac{\lambda^{k -1}}{(k -1)!} \tag{3}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
E(X) &=& \sum_{k=0}^\infty k \, P(X=k) \\
&=& \sum_{k=0}^\infty k \, e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} \\
&=& \lambda \, e^{-\lambda} \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k -1}}{(k -1)!} \\
&=& \lambda \, e^{-\lambda} \cdot e^\lambda \\
&=& \lambda \tag{4}
\end{eqnarray}です。

分散

分散は、$\lambda^2$です。

まず、式(3)と同様に、
\begin{eqnarray}
k^2 \cdot \frac{\lambda^2}{k!} &=& \lambda k \cdot \frac{\lambda^{k -1}}{(k -1)!} \\
&=& \lambda (k -1) \cdot \frac{\lambda^{k -1}}{(k -1)!} + \lambda \cdot \frac{\lambda^{k -1}}{(k -1)!} \\
&=& \lambda^2 \cdot \frac{\lambda^{k -2}}{(k -2)!} + \lambda \cdot \frac{\lambda^{k -1}}{(k -1)!}
\end{eqnarray}なので、式(2)も用いて
\begin{eqnarray}
E(X^2) &=& \sum_{k=0}^\infty k^2 \, P(X=k) \\
&=& \sum_{k=0}^\infty k^2 \, e^{-\lambda} \, \frac{\lambda^k}{k!} \\
&=& e^{-\lambda} \left \{ \lambda^2 \left( \sum_{k=2}^\infty \frac{\lambda^{k -2}}{(k -2)!} \right) + \lambda \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{\lambda^{k -1}}{(k -1)!} \right) \right \} \\
&=& e^{-\lambda} \left( \lambda^2 e^\lambda + \lambda \, e^\lambda \right) \\
&=& \lambda^2 + \lambda \tag{5}
\end{eqnarray}を得ます。

よって、式(4), (5)より、
\begin{eqnarray}
V(X) = \sigma &=& E(X^2) - \left \{ E(X) \right \}^2 \\
&=& \lambda \tag{6}
\end{eqnarray}となります。