【利息のはなし】○分の1年複利を考える - 数式で独楽する
ネイピア数 - 数式で独楽する
では、自然数に対して
\begin{equation}
\lim_{n\to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n=e \tag{1}
\end{equation}であることを述べました。
これより、次の関係が成り立ちます。
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 +\frac{x}{n} \right)^n = e^x \tag{2}
\end{equation}
特に
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^n = \frac{1}{e} \tag{3}
\end{equation}
式(1)より、
\begin{eqnarray}
\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right) ^n &=&
\lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{n}{x} \cdot r} \\
&=& \lim_{\displaystyle \scriptsize \frac{n}{x} \to \infty} \left( 1+\frac{1}{\ \displaystyle \frac{n}{x} \ } \right) ^{\displaystyle \scriptsize \frac{n}{x} \cdot x} \\
&=& e^x
\end{eqnarray}を得ます。
式変形の前提はですが、式(2)は
としても成り立ちます。
式(2)でとすると、
\begin{equation}
\lim_{n \to \infty} \left( 1 -\frac{1}{n} \right)^n = e^{-1} = \frac{1}{e} \tag{3}
\end{equation}を得ます。
