関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f}(q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
積のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = f(x) \cdot g(x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = \frac{1}{2\pi} \left( \hat{f}*\hat{g} \right)(q) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(u) \, g(q -u) \, du
\end{equation}
係数の付く付かないは、変換の定義により異なります。
から、積のフーリエ変換は想像がつきそうです。
定義に従って式を書くと、
\begin{eqnarray}
\hat{h}(q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \cdot g(x)
\end{eqnarray}ですが、ここからの変形で途方に暮れてしまいます。
そこで、畳み込みのフーリエ逆変換を定義に従って書いていきます。途中、積分の順序を入れ替えます。
\begin{eqnarray}
h(x) &=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dq \, e^{iqx} \, \hat{h}(q) \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dq \, e^{iqx} \, \left( \hat{f}*\hat{g} \right) (q) \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dq \, e^{iqx} \, \int_{-\infty}^\infty du \, \hat{f} \! (u) \, \hat{g} (q -u) \\
&=& \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty
du \, e^{iqu} \, \hat{f} \! (u) \int_{-\infty}^\infty dq \, e^{i(q -u)x} \, \hat{g}(q -u) \\
&=& 2\pi f(x) \cdot g(x)
\end{eqnarray}
フーリエ変換の演算子をと書くと、
\begin{equation}
\mathcal{F}^{-1}(\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g)) = 2\pi f \cdot g
\end{equation}となります。
つまり、
\begin{equation}
\mathcal{F}(f \cdot g) = \frac{1}{2\pi}\mathcal{F}(f)*\mathcal{F}(g)
\end{equation}を得ます。
積のフーリエ変換は、フーリエ変換の畳み込みとなります。
