マクローリン(Maclaurin)展開
\begin{eqnarray}
f(x) &=& f(0) + \frac{f'(0)}{1!}x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + \cdots \\
&=& \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n
\end{eqnarray}
マクローリン展開 - 数式で独楽する
において、
\begin{equation}
f(x) = e^x
\end{equation}とすると、のマクローリン展開が得られます。
\begin{equation}
(e^x)' = e^x
\end{equation}であり、は何回でも微分できます。
指数関数の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
f^{(n)}(x) = e^x \qquad (n = 0,1,2, \cdots)
\end{equation}です。
また、
\begin{equation}
e^0 = 1
\end{equation}です。
したがって、のマクローリン展開は、
\begin{equation}
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots
\end{equation}となります。
和の記号で書くと、
\begin{equation}
e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}
\end{equation}です。
級数は、で収束します。
係数にxの指数の階乗分の1が現れるのが特徴です。
