「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。
\begin{eqnarray}
({x_1}^2 + {x_2}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2) & \geqq & (x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \tag{1} \\
({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2 + {y_3}^2) & \geqq & (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2 \tag{2}
\end{eqnarray}
2成分の場合
両者の差をとってみます。
\begin{eqnarray}
&& ({x_1}^2 + {x_2}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2) - (x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \\
&&= ({x_1}^2 {y_1}^2 + {x_1}^2 {y_2}^2 + {x_2}^2 {y_1}^2 + {x_2}^2 {y_2}^2) - ({x_1}^2 {y_1}^2 + 2 x_1 x_2 y_1 y_2 + {x_2}^2 {y_2}^2) \\
&&= {x_1}^2 {y_2}^2 + {x_2}^2 {y_1}^2 - 2 x_1 x_2 y_1 y_2 \\
&&= (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 \\
&& \geqq 0
\end{eqnarray}等号成立は、
\begin{equation}
x_1 y_2 = x_2 y_1
\end{equation}つまり
\begin{equation}
x_1:x_2 = y_1:y_2
\end{equation}のときです。
平方の形になれば、値は0以上になることが分かります。
よって式(1)が示されます。
3成分の場合
2成分の場合と同様にしていきます。
\begin{eqnarray}
&& ({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2 + {y_3}^2) - (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2 \\
&&= ({x_1}^2 {y_1}^2 + {x_1}^2 {y_2}^2 + {x_1}^2 {y_3}^2 \\
&&\quad + {x_2}^2 {y_1}^2 + {x_2}^2 {y_2}^2 + {x_2}^2 {y_3}^2 \\
&&\quad + {x_3}^2 {y_1}^2 + {x_3}^2 {y_2}^2 + {x_3}^2 {y_3}^2) \\
&&\quad - ({x_1}^2 {y_1}^2 + {x_2}^2 {y_2}^2 + {x_3}^2 {y_3}^2 + 2 x_1 x_2 y_1 y_2 + 2 x_2 x_3 y_2 y_3 + 2 x_3 x_1 y_3 y_1) \\
&&= {x_1}^2 {y_2}^2 + {x_2}^2 {y_1}^2 + {x_2}^2 {y_3}^2 + {x_3}^2 {y_2}^2 + {x_3}^2 {y_1}^2 + {x_1}^2 {y_3}^2 \\
&&\quad -2 x_1 x_2 y_1 y_2 -2 x_2 x_3 y_2 y_3 -2 x_3 x_1 y_3 y_1 \\
&&= (x_1 y_2 - x_2 y_1)^2 + (x_2 y_3 - x_3 y_2)^2 + (x_3 y_1 - x_1 y_3)^2\\
&& \geqq 0
\end{eqnarray}よって、式(2)が示されます。
等号成立は、
\begin{eqnarray}
x_1 y_2 &=& x_2 y_1 \\
x_2 y_3 &=& x_3 y_2 \\
x_3 y_1 &=& x_1 y_3
\end{eqnarray}すなわち
\begin{equation}
x_1:x_2:x_3 = y_1:y_2:y_3
\end{equation}のときです。
