3つの数の相加平均、相乗平均の関係
負でない数に対し
\begin{equation}
\frac{a +b +c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}
\end{equation}
2つの数の相加平均と相乗平均の関係は
相加平均、相乗平均、調和平均の関係 - 数式で独楽する
の通りです。
3つの数の相加平均と相乗平均の関係を証明するには、の因数分解を用います。
x^3+y^3+z^3-3xyzの因数分解 - 数式で独楽する
のとき、
\begin{eqnarray}
x^3 +y^3 +z^3 -3xyz &=& (x +y +z)(x^2 +y^2 +z^3 -xy -yz.-zx) \\
&=& \frac{1}{2} \, (x +y +z)\left \{ (x -y)^2 +(y -z)^2 +(z -x)^2 \right \} \\
& \geqq & 0
\end{eqnarray}が成り立ちます。等号成立はのときです。
ここで
\begin{eqnarray}
x &=& \sqrt[3]{a} \\
y &=& \sqrt[3]{b} \\
z &=& \sqrt[3]{c}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
a +b +c -3 \sqrt[3]{abc} \geqq 0
\end{equation}つまり
\begin{equation}
\frac{a +b +c}{3} \geqq \sqrt[3]{abc}
\end{equation}を得ます。等号成立はのときです。
