「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。
2成分の場合
\begin{equation}
({x_1}^2 + {x_2}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2) \geqq (x_1 y_1 + x_2 y_2)^2 \\
\end{equation}
コーシー・シュワルツの不等式 その1 - 数式で独楽する
3成分の場合
\begin{equation}
({x_1}^2 + {x_2}^2 + {x_3}^2)({y_1}^2 + {y_2}^2 + {y_3}^2) \geqq (x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3)^2
\end{equation}コーシー・シュワルツの不等式 その1 - 数式で独楽する
多成分の場合
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \tag{1}
\end{equation}
コーシー・シュワルツの不等式 その2 - 数式で独楽する
コーシー・シュワルツの不等式 その3 - 数式で独楽する
関数の場合
\begin{equation}
\left( \int_a^b (f(x))^2 dx \right) \left( \int_a^b (g(x))^2 dx \right) \geqq \left( \int_a^b f(x) \, g(x) \, dx \right)^2 \tag{1}
\end{equation}
コーシー・シュワルツの不等式 その4 - 数式で独楽する
