2000年後期京大文系第2問 - 数式で独楽する

実数 $x,y$ が $x \geqq y \geqq 1$ を満たすとき、次の不等式が成立することを示せ。
\begin{equation}
(x +y -1) \log_2 (x +y) \geqq (x -1) \log_2 x +(y -1) \log_2 y +y
\end{equation}

解答例
解説

解答例

$x \geqq y \geqq 1$ で $y$ の関数
\begin{equation}
f(y) = (x.+y -1) \log_2 (x +y) -\left \{ (x -1) \log_2 x +(y -1) \log_2 y +y \right \}
\end{equation}を定めます。

$x$ を定数と見なし、 $y$ で微分します。
対数関数の微分3 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
f'(y) &=& \log_2 (x +y) +\frac{x +y -1}{(x +y) \log 2} -\log_2 y -\frac{y -1}{y \log 2} -1 \\
&=& \log_2 \frac{x +y}{y} +\frac{1}{\log 2} \left( \frac{x +y -1}{x +y} -\frac{y -1}{y} \right) -1 \\
&=& \log_2 \left( \frac{x}{y} +1 \right) +\frac{1}{\log 2} \left( \frac{1}{y} -\frac{1}{x +y} \right) -1
\end{eqnarray}
$x \geqq y \geqq 1$ なので、
\begin{eqnarray}
\log_2 \left( \frac{x}{y} +1 \right) &\geqq & \log_2 2 = 1 \\
\frac{1}{y} -\frac{1}{x +y} &>& 0
\end{eqnarray}です。したがって
\begin{equation}
f'(y) > 0
\end{equation}つまり $f(y)$ は $x \geqq y \geqq 1$ で単調増加です。

よって、
\begin{eqnarray}
f(y) \geqq f(1) &=& x\log_2 (x +1) -(x -1)\log_2 -1 \\
&=& x\log_2 \frac{x +1}{x} +\log_2 x -1
\end{eqnarray}となります。

続いて、 $g(x) = f(1)$ とし、これを評価します。
\begin{eqnarray}
g'(x) &=& \log_2 \frac{x +1}{x} +x \cdot \cfrac{-\cfrac{1}{x^2}}{\cfrac{x +1}{x} \log 2} +\frac{1}{x \log 2} \\
&=& \log_2 \frac{x +1}{x} +\frac{1}{\log 2} \left( \frac{1}{x} -\frac{1}{x +1} \right) > 0
\end{eqnarray}なので $g(x)$ は $x \geqq 1$ で単調増加です。
つまり
\begin{equation}
f(1) = g(x) \geqq g(1) = \log_2 2 -1 = 0
\end{equation}となります。
よって、
\begin{equation}
f(y) \geqq 0
\end{equation}です。

なお、 $x = y = 1$ の場合は
\begin{eqnarray}
(x +y -1) \log_2 (x +y) &=& \log_2 2 = 1 \\
(x -1) \log_2 x +(y -1) \log_2 y +y &=& 1
\end{eqnarray}なので、不等式の等号が成立しています。