「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツの不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \tag{1}
\end{equation}
多成分の場合
多成分の場合は項数が多くなるので、工夫が必要です。
ここでは数学的帰納法を用いていきます。
n=1の場合
の場合は明らかです。
n=2の場合
n=kの場合
の場合に式(1)が成り立つと仮定します。
このとき、
\begin{eqnarray}
\left( \sum_{i=1}^{k+1} {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^{k+1} {y_i}^2 \right)
&=& \left \{ \left( \sum_{i=1}^k {x_i}^2 \right) + {x_{k+1}}^2 \right \} \left \{ \left( \sum_{i=1}^k {y_i}^2 \right) + {y_{k+1}}^2 \right \} \\
& \geqq & \left \{ \left( \sum_{i=1}^k {x_i}^2 \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{2}} \left( \sum_{i=1}^k {y_i}^2 \right)^{\displaystyle \scriptsize \frac{1}{2}} + x_{k+1} y_{k+1} \right \}^2 \\
& \geqq & \left \{ \left( \sum_{i=1}^k x_i y_i \right) + x_{k+1} y_{k+1} \right \}^2 \\
&=& \left( \sum_{i=1}^{k+1} x_i y_i \right)^2
\end{eqnarray}となり、の場合も成り立つことが分かります。
以上より、任意の自然数$n$に対し、
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \tag{1}
\end{equation}が成り立つことが示されました。
なお、等号成立は、
\begin{equation}
x_1:x_2:\cdots :x_n = y_1:y_2:\cdots :y_n
\end{equation}のときです。
