「コーシーの不等式」または「コーシー・シュワルツ０の不等式」は、相加平均・相乗平均の関係の次に有名な不等式です。平方和の積に関する不等式です。
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \tag{1}
\end{equation}
多成分の場合
多成分の場合は項数が多くなるので、工夫が必要です。
ここでは
コーシー・シュワルツの不等式 その2 - 数式で独楽する
とは別の方法を用いていきます。
変数の2次方程式
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n (x_i - t \, y_i)^2 = 0 \tag{2}
\end{equation}を考えます。
式(2)の左辺は平方の和なので、
\begin{equation}
\sum_{i=1}^n (x_i - t \, y_i)^2 \geqq 0 \tag{3}
\end{equation}です。
したがって、式(2)は実数解を持たないか、ただ1つ持つかのいずれかです。
判別式を考えると、
\begin{equation}
D \leqq 0 \tag{4}
\end{equation}となります。
式(2)を変形すると、
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) -2t \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right) + t^2 \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) =0 \tag{5}
\end{equation}です。
式(5)で判別式を考えると、式(4)により、
\begin{equation}
\frac{D}{4} = \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 - \left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) \leqq 0
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\left( \sum_{i=1}^n {x_i}^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n {y_i}^2 \right) \geqq \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \tag{1}
\end{equation}が示されます。
なお、等号成立条件は
\begin{equation}
x_i - t \, y_i = 0 \quad (i=1,2, \cdots , n)
\end{equation}であり、
\begin{equation}
x_1:x_2:\cdots :x_n = y_1:y_2:\cdots :y_n \tag{6}
\end{equation}と同義です。
ベクトルとの関連
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& (x_1, x_2, \cdots, x_n) \\
\boldsymbol{y} &=& (y_1, y_2, \cdots, y_n)
\end{eqnarray}とすると、式(1)は、
\begin{equation}
|\boldsymbol{x}|^2 |\boldsymbol{y}|^2 \geqq (\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})^2 \tag{1'}
\end{equation}となります。
ベクトルの内積は、それぞれの絶対値の積よりも大きくならないことを示しています。
両ベクトルのなす角をとすると、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} = |\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}| \cos \theta
\end{equation}なので、式(1')は明らかです。
また、式(3)を書き換えると、
\begin{equation}
|\boldsymbol{x} - t \, \boldsymbol{y}| \geqq 0 \tag{3'}
\end{equation}ですが、ベクトルで表現すると当たり前であることが分かります。
等号が成立するのは
\begin{equation}
\boldsymbol{x} \parallel \boldsymbol{y}
\end{equation}のときですが、これを成分で書き下すと式(6)そのものです。
