対角行列

対角行列

「対角行列」とは、正方行列であり、対角成分$(i,i)$以外の成分が零であるものをいいます。
\begin{equation}
C = \left( \begin{array}{cccc}
c_1 &&& \Large{0} \\
& c_2 && \\
&& \ddots & \\
\Large{0} &&& c_n
\end{array} \right)
\end{equation}
クロネッカーのデルタ
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
を用いると、
\begin{equation}
C = (c_i \delta_{ij})
\end{equation}と表します。

対角行列の積

対角行列の積はやはり対角行列で、成分はそれぞれの成分の積となります。
\begin{equation}
D= (d_i \delta_{ij})
\end{equation}とすると、積の$(i,j)$成分は、
\begin{equation}
(C D)_{ij} = \sum_{k=1}^n (c_i \delta_{ik}) (d_k \delta_{kj}) = c_i d_j \delta_{ij}
\end{equation}となります。
クロネッカーのデルタ同士の積 - 数式で独楽する
つまり、
\begin{equation}
C D = \left( \begin{array}{cccc}
c_1 d_1 &&& \Large{0} \\
& c_2 d_2 && \\
&& \ddots & \\
\Large{0} &&& c_n d_n
\end{array} \right) \tag{1}
\end{equation}となります。

対角行列同士の積の成分は、成分同士の積となります。

対角行列の逆行列

式(1)で$C D = I$とすると
\begin{equation}
c_i d_i =1
\end{equation}なので
\begin{equation}
d_i = c_i^{-1}
\end{equation}となります。
つまり、
\begin{equation}
C^{-1} = \left( \begin{array}{cccc}
c_1^{-1} &&& \Large{0} \\
& c_2^{-1} && \\
&& \ddots & \\
\Large{0} &&& c_n^{-1}
\end{array} \right)
\end{equation}となります。

対角行列の逆行列は、成分を逆数とすると得られます。