本稿では、行列の具体例を出して、固有値・固有ベクトル求めていきます。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{rrr}
1 & 1 & 3 \\
1 & 5 & 1 \\
3 & 1 & 1
\end{array} \right)
\end{equation}の固有値・固有ベクトルを求めます。行列$A$は対称行列です。
対称行列とエルミート行列 - 数式で独楽する
すなわち
が
なる解をもつ条件は、
\begin{equation}
\mathrm{det} (A -\lambda I) =0
\end{equation}です。これが「特性方程式」です。具体的に計算していきます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{det} (A - \lambda I) &=& \left| \begin{array}{ccc}
1-\lambda & 1 & 3 \\
1 & 5-\lambda & 1 \\
3 & 1 & 1 -\lambda
\end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
1-\lambda & 1 & 1 \\
1 & 5-\lambda & 1 \\
2 +\lambda & 0 & -2 -\lambda
\end{array} \right| \\
&=& -(2 + \lambda) \left| \begin{array}{cc}
1 -\lambda & 1 \\
1 & 5 - \lambda
\end{array} \right| + (2 + \lambda) \left| \begin{array}{cc}
1 & 3 \\
5 -\lambda & 1
\end{array} \right| \\
&=& (2 +\lambda) \left \{ -(1 -\lambda)(5 -\lambda) +1 +1 -3(5 -\lambda) \right \} \\
&=& (2 +\lambda)(-5 +6\lambda -\lambda^2 -13 +3\lambda) \\
&=& (2 +\lambda)(-18 +9\lambda - \lambda^2) \\
&=& - (\lambda +2)(\lambda -3)(\lambda -6) =0 \\
\therefore \quad \lambda &=& -2, 3, 6
\end{eqnarray}を得ます。
固有値の場合
\begin{equation}
(A -\lambda I) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{rrr}
3 & 1 & 3 \\
1 & 7 & 1 \\
3 & 1 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \boldsymbol{0}
\end{equation}より
\begin{eqnarray}
&& \left \{ \begin{array}{r cc}
3x +\, \ y +3z &=& 0 \\
x +7y +\, \ z &=& 0
\end{array} \right. \\
& \Rightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr}
y &=& 0 \\
z &=& -x
\end{array} \right.
\end{eqnarray}なので、固有ベクトルは
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right)
\end{equation}です。固有ベクトルを並べて直交行列を作る意図があり、大きさを1としています。
固有値の場合
\begin{equation}
(A -\lambda I) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{rrr}
-2 & 1 & 3 \\
1 & 2 & 1 \\
3 & 1 & -2
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \boldsymbol{0}
\end{equation}より
\begin{eqnarray}
&& \left \{ \begin{array}{r cc}
-2x +\, \ y +3z &=& 0 \\
x +2y +\, \ z &=& 0 \\
3x +\, \ y -2x &=& 0
\end{array} \right. \\
& \Rightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr}
x &=& -y \\
z &=& -y
\end{array} \right.
\end{eqnarray}なので、固有ベクトルは
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}です。
固有値の場合
\begin{equation}
(A -\lambda I) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) =
\left( \begin{array}{rrr}
-5 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 1 \\
3 & 1 & -5
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) = \boldsymbol{0}
\end{equation}より
\begin{eqnarray}
&& \left \{ \begin{array}{r cc}
-5x +y +3z &=& 0 \\
x -y +\, \ z &=& 0 \\
3x +y -5x &=& 0
\end{array} \right. \\
& \Rightarrow & \left \{ \begin{array}{rrr}
y &=& 2x \\
z &=& x
\end{array} \right.
\end{eqnarray}なので、固有ベクトルは
\begin{equation}
\frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{equation}です。
以上をまとめると、固有値および固有ベクトルは、
\begin{eqnarray}
\lambda=-2 & \quad & \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\
\lambda=3 & \quad & \frac{1}{\sqrt{3}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ -1 \\ 1 \end{array} \right) \\
\lambda=6 & \quad & \frac{1}{\sqrt{6}} \left( \begin{array}{r} 1 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
対角化はこちら。
対角化の実演 その3 - 数式で独楽する
