エルミート行列の固有値

エルミート行列

随伴行列が元の行列と等しくなる行列を「エルミート行列」といいます。
共軛複素数 - 数式で独楽する
 共軛複素数その2 - 数式で独楽する
行列 $A=(a_{ij})$ がエルミート行列の場合、
\begin{equation}
A^* = A
\end{equation}を満たします。
行列の成分は、
\begin{equation}
\overline{a_{ji}} = a_{ij}
\end{equation}を満たします。

エルミート行列の固有値は実数である。

エルミート行列 $A \ (A^* = A)$ の固有値を $\lambda$ 、対応する固有ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{v}$ とすると、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \tag{1} \\
\end{equation}が成り立ちます。

式(1)の共軛転置をとります。 $A^* = A$ なので、
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}}^* A = \bar{\lambda} \boldsymbol{v}^* \tag{2}
\end{equation}となります。
積の転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

式(1)の両辺に左から ${\boldsymbol{v}}^*$ を掛けます。
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}}^* A \boldsymbol{v} = \lambda {\boldsymbol{v}}^* \boldsymbol{v} \tag{3}
\end{equation}
式(2)の両辺に右から $\boldsymbol{v}$ を掛けます。
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}}^* A \boldsymbol{v} = \bar{\lambda} {\boldsymbol{v}}^* \boldsymbol{v} \tag{4}
\end{equation}
式(3), (4)より、
\begin{equation}
(\lambda - \bar{\lambda}) {\boldsymbol{v}}^* \boldsymbol{v} = 0
\end{equation}を得ます。
$\boldsymbol{v} \ne \boldsymbol{0}$ なので、
\begin{eqnarray}
\lambda - \bar{\lambda} &=& 0 \\
\therefore \quad \bar{\lambda} &=& \lambda
\end{eqnarray}となります。
よって、エルミート行列の固有値は実数であることが示されました。
共軛複素数その2 - 数式で独楽する