共軛複素数

複素数
複素数 - 数式で独楽する
\begin{equation}
z = x + y \, i \quad (x, y \in \mathbb{R})
\end{equation}に対し、
\begin{equation}
\bar{z} = x - y \, i
\end{equation}で表される数を「共軛複素数」といいます。
「複素共軛」または単に「共軛」ということもあります。
複素数は、同一の実数係数の方程式の解となります。
同じ軛(くびき、頚木)*1に拘束されているので「共軛」です。
「共役複素数」と書かれることが多いです。

2つの複素数
\begin{eqnarray}
z_1 &=& x_1 + y_1 \, i \\
z_2 &=& x_2 + y_2 \, i
\end{eqnarray}に対して、和、差、積、商は次のようになります。

和および差

\begin{equation}
\overline{z_1 \pm z_2} = \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \quad (\mbox{複号同順})
\end{equation}

\begin{eqnarray}
\overline{z_1 \pm z_2} &=& \overline{(x_1 \pm x_2) + (y_1 \pm y_2) \, i} \\
&=& (x_1 \pm x_2) - (y_1 \pm y_2) \, i \\
&=& (x_1 - y_1 \, i) \pm (x_2 - y_2 \, i) \\
&=& \overline{z_1} \pm \overline{z_2} \quad (\mbox{複号同順})
\end{eqnarray}
和または差の複素共軛は、複素共軛の和または差となります。

積

\begin{equation}
\overline{z_1 z_2} = \overline{z_1} \, \overline{z_2}
\end{equation}

\begin{eqnarray}
\overline{z_1 z_2} &=& \overline{(x_1 + y_1 \, i)(x_2 + y_2 \, i)} \\
&=& \overline{(x_1 x_2 - y_1 y_2) + (x_1 y_2 + x_2 y_1)\, i} \\
&=& (x_1 x_2 - y_1 y_2) - (x_1 y_2 + x_2 y_1) \, i \\
&=& x_1(x_2 - y_2 \, i) - y_1 \, i \, (x_2 - y_2 \, i) \\
&=& (x_1 - y_1 \, i)(x_2 - y_2 \, i) \\
&=& \overline{z_1} \, \overline{z_2}
\end{eqnarray}
積の複素共軛は、複素共軛の積となります。

商

\begin{equation}
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2} \right)} = \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}
\end{equation}

\begin{eqnarray}
\overline{\left(\frac{z_1}{z_2} \right)} &=& \overline{\left(\frac{x_1 + y_1 \, i}{x_2 + y_2 \, i} \right)} \\
&=& \overline{\left(\frac{(x_1 + y_1 \, i)(x_2 - y_2 \, i)}{(x_2 + y_2 \, i)(x_2 - y_2 \, i)} \right)} \\
&=& \overline{\left( \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) + (-x_1 y_2 + x_2 y_1) \, i}{{x_2}^2 + {y_2}^2} \right)} \\
&=& \frac{(x_1 x_2 + y_1 y_2) - (-x_1 y_2 + x_2 y_1) \, i}{{x_2}^2 + {y_2}^2} \\
&=& \frac{(x_1 - y_1 \, i)(x_2 + y_2 \, i)}{(x_2 + y_2 \, i)(x_2 - y_2 \, i)} \\
&=& \frac{x_1 - y_1 \, i}{x_2 - y_2 \, i} \\
&=& \frac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}
\end{eqnarray}
商の複素共軛は、複素共軛の商となります。

共軛複素数 その2 - 数式で独楽する
もご覧ください。

*1:家畜に農具や荷車を引かせるときに首にかける木のこと。