積の転置行列
\begin{equation}
(AB)^t = B^t A^t
\end{equation}
積の転置は、転置して積の順序を逆にするというものです。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する
行列に対して、積$AB$の$i,j$成分を考えます。
アインシュタインの縮約記法を用いることにします。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
AB &=& (a_{ik} \, b_{kj}) \\
(AB)^t &=& (a_{jk} \, b_{ki}) \\
a_{jk} b_{ki} &=& b_{ki}\, a_{jk} \\
(b_{ki}) &=& \left(B^t \right)_{ik} \\
(a_{jk}) &=& \left(A^t \right)_{kj}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
(AB)^t = B^t A^t
\end{equation}となります。
積の随伴行列
\begin{equation}
(AB)^* = B^* A^*
\end{equation}
積の共軛転置は、共軛転置して積の順序を逆にするというものです。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する
行列に対して、積$AB$の$i,j$成分を考えます。
アインシュタインの縮約記法を用いることにします。
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
AB &=& (a_{ik} b_{kj}) \\
(AB)^* &=& \left(\overline{a_{jk}} \, \overline{b_{ki}} \right) \\
\overline{a_{jk}} \, \overline{b_{ki}} &=& \overline{b_{ki}} \, \overline{a_{jk}} \\
(\overline{b_{ki}}) &=& \left(B^* \right)_{ik} \\
(\overline{a_{jk}}) &=& \left(A^* \right)_{kj}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
(AB)^* = B^* A^*
\end{equation}となります。
共軛複素数 - 数式で独楽する
共軛複素数 その2 - 数式で独楽する
