対称行列の固有ベクトル

対称行列

転置行列が元の行列と等しくなる行列を「対称行列」といいます。
行列 $A=(a_{ij})$ が転置行列の場合、
\begin{equation}
A^t = A
\end{equation}を満たします。
行列の成分は、
\begin{equation}
a_{ji} = a_{ij}
\end{equation}を満たします。
対角成分を対称軸としてその両側が等しいので、対称行列の名称となっています。

対称行列の固有ベクトルは直交する。

対称行列 $A \ (A^t = A)$ の固有値を $\lambda_1, \lambda_2 \ (\lambda_1 \ne \lambda_2)$ 、対応する固有ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ とすると、
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{v}_1 &=& \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 \tag{1} \\
A \boldsymbol{v}_2 &=& \lambda_1 \boldsymbol{v}_2 \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(2)の転置をとります。
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^t A^t = \lambda_2 {\boldsymbol{v}_2}^t \tag{3}
\end{equation}
積の転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

式(1)の両辺に左から ${\boldsymbol{v}_2}^t$ を掛けます。
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^t A \boldsymbol{v}_1 = \lambda_1 {\boldsymbol{v}_2}^t \boldsymbol{v}_1 \tag{4}
\end{equation}
式(3)の両辺に右から $\boldsymbol{v}_1$ を掛けます。
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^t A \boldsymbol{v}_1 = \lambda_2 {\boldsymbol{v}_2}^t \boldsymbol{v}_1 \tag{5}
\end{equation}
式(4), (5)より、
\begin{equation}
(\lambda_1 - \lambda_2) {\boldsymbol{v}_2}^t \boldsymbol{v}_1 = 0
\end{equation}を得ます。
$\lambda_1 \ne \lambda_2$ なので、
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^t \boldsymbol{v}_1 = 0
\end{equation}となります。
よって、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交することが示されました。