エルミート行列の固有ベクトル

エルミート行列

随伴行列が元の行列と等しくなる行列を「エルミート行列」といいます。
共軛複素数 - 数式で独楽する
 共軛複素数その2 - 数式で独楽する
行列 $A=(a_{ij})$ がエルミート行列の場合、
\begin{equation}
A^* = A
\end{equation}を満たします。
行列の成分は、
\begin{equation}
\overline{a_{ji}} = a_{ij}
\end{equation}を満たします。

エルミート行列の固有ベクトル

エルミート行列の固有ベクトルは直交する。

エルミート行列 $A \ (A^t = A)$ の固有値を $\lambda_1, \lambda_2 \ (\lambda_1 \ne \lambda_2)$ 、対応する固有ベクトルをそれぞれ $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2$ とすると、
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{v}_1 &=& \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 \tag{1} \\
A \boldsymbol{v}_2 &=& \lambda_1 \boldsymbol{v}_2 \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
エルミート行列の固有値は実数です。
エルミート行列の固有値 - 数式で独楽する

式(2)の共軛転置をとります。 $A^* = A, \ \overline{\lambda_i} = \lambda_i$ なので、
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^* A = \lambda_2 {\boldsymbol{v}_2}^* \tag{3}
\end{equation}となります。
積の転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

式(1)の両辺に左から ${\boldsymbol{v}_2}^*$ を掛けます。
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^* A \boldsymbol{v}_1 = \lambda_1 {\boldsymbol{v}_2}^* \boldsymbol{v}_1 \tag{4}
\end{equation}
式(3)の両辺に右から $\boldsymbol{v}_1$ を掛けます。
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^* A \boldsymbol{v}_1 = \lambda_2 {\boldsymbol{v}_2}^* \boldsymbol{v}_1 \tag{5}
\end{equation}
式(4), (5)より、
\begin{equation}
(\lambda_1 - \lambda_2) {\boldsymbol{v}_2}^* \boldsymbol{v}_1 = 0
\end{equation}を得ます。
$\lambda_1 \ne \lambda_2$ なので、
\begin{equation}
{\boldsymbol{v}_2}^* \boldsymbol{v}_1 = 0
\end{equation}となります。
よって、異なる固有値に対応する固有ベクトルは直交することが示されました。