2×2, 3×3行列の行列式 - 数式で独楽する

行列$A$に対する行列式を $\det A$ や $|A|$ と表します。

行列式は、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}と定義します。
行列式 - 数式で独楽する

ここに、
$\sigma$は$1, \cdots , n$を並べ替える置換を表します。

$\mathrm{sgn}(\sigma)$は置換の符号を意味します。1回入れ替えると$-1$、2回入れ替えると$+1$です。つまり、
\begin{equation}
\mathrm{sgn}(\sigma) = \left \{ \begin{array}{cc}
+1 & (\mbox{even}) \\
-1 & (\mbox{odd})
\end{array} \right.
\end{equation} です。

$\mathfrak{S}$は、置換$\sigma$の全てを集めた集合です。

2×2行列

2×2行列 $A= \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ について考えます。
置換の集合$\mathfrak{S}$の要素と符号は、
\begin{eqnarray}
\sigma = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right) & \Rightarrow & \mathrm{sgn}(\sigma) = 1 \\
\sigma = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array} \right) & \Rightarrow & \mathrm{sgn}(\sigma) = -1
\end{eqnarray}なので、定義に従って処理すると、
\begin{equation}
\mathrm{det} A = ad - bc
\end{equation}となります。

3×3行列

3×3行列 $A=\left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & A_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{array} \right)$ について考えます。
置換の集合$\mathfrak{S}$の要素と符号は、
\begin{eqnarray}
\sigma = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{array} \right),
& \Rightarrow & \mathrm{sgn}(\sigma) = 1 \\
\sigma = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{array} \right),
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{array} \right),
& \Rightarrow & \mathrm{sgn}(\sigma) = -1
\end{eqnarray}なので、定義に従って処理すると、
\begin{eqnarray}
\mathrm{det} A &=& a_{11} a_{22} a_{33} + a_{12} a_{23} a_{31} + a_{13} a_{21} a_{32} \\
&& - a_{11} a_{23} a_{32} - a_{12} a_{21} a_{33} - a_{13} a_{22} a_{31}
\end{eqnarray}となります。