行列式の性質　余因子展開

行列$A$に対する行列式を $\det A$ や $|A|$ と表します。
$n \times n$ 行列であるとき、

\begin{eqnarray}
\det A = |A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \cdots \quad \boldsymbol{a}_n | \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \cdots & a_{nn}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}とも表します。

行列式は、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} a_{\sigma(2)2} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}と定義します。
行列式 - 数式で独楽する

第 $k$ 列に着目します。
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}} \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(k)k} \cdots a_{\sigma(n)n}
\end{equation}
さらに $\sigma(k) = j$ となる第 $j$ 行に着目します。
この $j$ は、 $1 \leqq j \leqq n$ です。

行列式は、
\begin{equation}
\det A = |A| = \sum_{j=1}^n \left[ a_{jk}\left( \sum_{\sigma(k) =j } \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(n)n} /a_{jk} \right) \right]
\end{equation}となります。
2つ目の和の記号の後ろは、 $a_{\sigma(1)1}$ $から $a_{\sigma(n)n}$ の積ですが、 $a_{jk}$ を割り算で除いています。

ここで、
\begin{equation}
C_{jk} = \sum_{\sigma(k) =j } \mathrm{sgn}(\sigma) a_{\sigma(1)1} \cdots a_{\sigma(n)n} /a_{jk}
\end{equation}を $(j,k)$ 成分の余因子といいます。
余因子を用いると、行列式は
\begin{equation}
|A| = \sum_{j=1}^n a_{jk}C_{jk}
\end{equation}と展開できます。