3×3行列
\begin{equation}
A= \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right)
\end{equation}の行列式について、
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
クロネッカーのデルタ
クロネッカーのデルタ - 数式で独楽する
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
を用いて表記することを、本稿で考えていきます。
エディントンのイプシロンとアインシュタインの縮約記法を用いると、
\begin{equation}
|A| = \epsilon_{ijk} a_{i1} a_{j2} a_{k3}
\end{equation}
と表すことができます。
次のように導きます。
行列の各成分は、クロネッカーのデルタを用いて
\begin{equation}
a_{mn} = \delta_{mi} a_{in}
\end{equation}と表すことができます。
行列式の性質
積の行列式 - 数式で独楽する
とエディントンのイプシロンの性質
エディントンのイプシロンあれこれ ε_{ijk}ε_{lmn} - 数式で独楽する
を用いると、
\begin{eqnarray}
|A| &=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
\delta_{1i} a_{i1} & \delta_{1j} a_{j2} & \delta_{1k} a_{k3} \\
\delta_{2i} a_{i1} & \delta_{2j} a_{j2} & \delta_{2k} a_{k3} \\
\delta_{3i} a_{i1} & \delta_{3j} a_{j2} & \delta_{3k}a_{k3}
\end{array} \right| \\
&=& \left| \begin{array}{ccc}
\delta_{1i} & \delta_{1j} & \delta_{1k} \\
\delta_{2i} & \delta_{2j} & \delta_{2k} \\
\delta_{3i} & \delta_{3j} & \delta_{3k}
\end{array} \right| a_{i1} a_{j2} a_{k3} \\
&=& \epsilon_{ijk} a_{i1} a_{j2} a_{k3}
\end{eqnarray}となります。
