行列に対する行列式を
や
と表します。
3×3行列、すなわち3行3列
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right)
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
\det A &=& \det \left( \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right) \\
|A| &=& \left| \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array} \right|
\end{eqnarray}と表します。
本稿では、行列の積の行列式が、行列式の積となる、すなわち
\begin{eqnarray}
\det AB &=& \det A \cdot \det B \\
|AB| &=& |A||B|
\end{eqnarray}となることを見ていきます。
なお、
\begin{eqnarray}
A &=& (\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_3 ) \\
B &=& \left( \begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array} \right)
\end{eqnarray}とします。
ここから、行列式を、
アインシュタインの縮約記法
アインシュタインの縮約記法 - 数式で独楽する
やエディントンのイプシロン
エディントンのイプシロンまたはレヴィ·チヴィタ記号 - 数式で独楽する
を駆使して変形していくと、導くことができます。
\begin{eqnarray}
|AB| &=& \left| (\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_3) \left( \begin{array}{ccc}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{array} \right) \right| \\
&=& | \boldsymbol{a}_i b_{i1} \quad \boldsymbol{a}_j b_{j2} \quad \boldsymbol{a}_k b_{k3}| \\
&=& |\boldsymbol{a}_i \quad \boldsymbol{a}_j b_{j2} \quad \boldsymbol{a}_k b_{k3}| \ b_{i1} \\
&=& |\boldsymbol{a}_i \quad \boldsymbol{a}_j \quad \boldsymbol{a}_k b_{k3}| \ b_{i1} b_{j2} \\
&=& |\boldsymbol{a}_i \quad \boldsymbol{a}_j \quad \boldsymbol{a}_k| \ b_{i1} b_{j2} b_{k3} \\
&=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_3| \ \epsilon_{ijk} b_{i1} b_{j2} b_{k3} \\
&=& |A||B|
\end{eqnarray}です。
途中、2行目への変形で、アインシュタインの縮約記法を用いています。
和の記号は表記していませんが、で和を取ります。
列がベクトルの和になっていれば、行列式も和になります。
3~5行目への変形は、列の定数倍は行列式も定数倍となることを用いています。
6行目への変形は、
\begin{equation}
|\boldsymbol{a}_i \quad \boldsymbol{a}_j \quad \boldsymbol{a}_k| = |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_3| \ \epsilon_{ijk}
\end{equation}を用いています。列の入れ替えをエディントンのイプシロンで表現しています。
最後の変形は、
\begin{eqnarray}
|A| &=& |\boldsymbol{a}_1 \quad \boldsymbol{a}_2 \quad \boldsymbol{a}_3| \\
|B| &=& \epsilon_{ijk} b_{i1} b_{j2} b_{k3}
\end{eqnarray}を用いています。
