京大 2009年理系第4問その3 - 数式で独楽する

$\displaystyle A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)$ を $ad -bc =1$ を満たす行列とする( $a,b,c,d$ は実数)。自然数 $n$ に対して平面上の点 $\mathrm{P}_n (x_n, y_n)$ を
\begin{equation}
\left( \begin{array}{cc} x_n \\ y_n \end{array} \right) = A^n \left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right)
\end{equation}により定める。 $\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OP}_2}$ の長さが1のとき、すべての $n$ な対して $\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$ の長さが1であることを示せ。ここでOは原点である。

解答例
解説

解答例

続きです。
京大 2009年理系第4問その1 - 数式で独楽する
 京大 2009年理系第4問その2 - 数式で独楽する

(ii) $d = -a$ の場合
式(2)から、 $b,c$ の値によらず
\begin{equation}
A^2 = -I
\end{equation}となります。

したがって、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}_2} &=& A^2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} -1 \\ 0 \end{array} \right) \\
\overrightarrow{\mathrm{OP}_3} &=& A \left( \begin{array}{r} -1 \\ 0 \end{array} \right) = -\overrightarrow{\mathrm{OP}_1} \\
\overrightarrow{\mathrm{OP}_4} &=& -\overrightarrow{\mathrm{OP}_2} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
同様に、自然数 $k$ に対し
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}_{2k -1}} &=& (-1)^{k -1} \overrightarrow{\mathrm{OP}_1} \\
\overrightarrow{\mathrm{OP}_{2k}} &=& (-1)^k \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{eqnarray}が成り立ちます。
$\overrightarrow{\mathrm{OP}_1}, \overrightarrow{\mathrm{OP}_2}$ の長さが1なので、全ての $n$ に対し $\overrightarrow{\mathrm{OP}_n}$ の長さは1となります。