本稿では、対角化の具体例を見ていきます。
行列の対角化 - 数式で独楽する
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{rr}
1 & -1\\
1 & 3
\end{array} \right)
\end{equation}を対角化します。
まず、固有値・固有ベクトルは
\begin{equation}
\lambda=2, \quad \boldsymbol{v}_1 = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\end{equation}です。
固有値・固有ベクトルの実演 その2 - 数式で独楽する
\begin{equation}
A \boldsymbol{v}_2 = \boldsymbol{v}_1 + \lambda \boldsymbol{v}_2
\end{equation}を満たす2本目のベクトルは
\begin{equation}
x + y = -1
\end{equation}を満たせばよく、
\begin{equation}
\boldsymbol{v}_2 = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array} \right), \quad
\left( \begin{array}{r} -1 \\ 0 \end{array} \right)
\end{equation}とすることも可能です。
の場合、
\begin{eqnarray}
P &=& \left( \begin{array}{rr}
1& 2 \\
-1 & -3
\end{array} \right) \\
P^{-1} &=& \left( \begin{array}{rr}
3 & 2 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \\
P^{-1} AP &=& \left( \begin{array}{rr}
3 & 2 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
1 & -1\\
1 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
1& 2 \\
-1 & -3
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rr}
3 & 2 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
2 & 5 \\
-2 & -7
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
の場合、
\begin{eqnarray}
P &=& \left( \begin{array}{rr}
1& -1 \\
-1 & 0
\end{array} \right) \\
P^{-1} &=& \left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \\
P^{-1} AP &=& \left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
1 & -1\\
1 & 3
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
1& -1 \\
-1 & 0
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rr}
0 & -1 \\
-1 & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{rr}
2 & -1 \\
-2 & -1
\end{array} \right) \\
&=& \left( \begin{array}{rr}
2 & 1 \\
0 & 2
\end{array} \right)
\end{eqnarray}となります。
対角化はできませんが、それに近いことはできます。
