正三角形の各頂点を中心にして、一辺の長さを半径とする円弧を描いてできる図形を、「ルーローの三角形」といいます。
周の長さ
正三角形の一辺の長さがであるルーローの三角形の周の長さは、
\begin{equation}
l = \pi a
\end{equation}です。
六分円の円弧、3つ分に相当します。
つまり半円の円弧の長さです。
面積
六分円3つを、中心が各頂点になるように置くと、ルーローの三角形になります。
なお、正三角形2枚分が余ります。
正三角形の面積は、
\begin{equation}
\frac{1}{2} \, a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \, a = \frac{\sqrt{3}}{4} \, a^2
\end{equation}です。
したがって、ルーローの三角形の面積は、
\begin{eqnarray}
S &=& 3 \times \frac{\pi a^2}{6} - 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \, a^2 \\
&=& \frac{\pi - \sqrt{3}}{2} \, a^2
\end{eqnarray}となります。
ルーローの三角形を転がすと、こういう感じです。
ルーローの三角形を転がす - 数式で独楽する
