直線上を円が転がるとき、円上の点が描く軌跡を「サイクロイド」といいます。
半径の円
が
軸上を右へ転がるとき、原点にあった点Pの軌跡は、
\begin{eqnarray}
x &=& a(\theta - \sin \theta) \\
y &=& a(1- \cos \theta)
\end{eqnarray}と書くことができます。
変換は別の変数
で表されています。こういう
のような変数を、媒介変数といいます。
サイクロイド - 数式で独楽する
サイクロイドと軸に囲まれた部分を
軸の周りに1回転してできる立体の体積
は
\begin{equation}
V = 5\pi^2 a^3
\end{equation}です。
みていきましょう。
曲線と軸に囲まれた部分を
軸の周りに1回転させてできる立体の体積は、
\begin{equation}
V = \pi \int_0^{2 \pi a} y^2 \, dx
\end{equation}です。
変数を媒介変数
を用いて変換します。
\begin{equation}
dx = \frac{dx}{d \theta} \, d \theta = a(1 -\cos \theta) \, d \theta
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
V &=& \pi \int_0^{2\pi} a^3 (1 -\cos \theta)^3 d\theta \\
&=& \pi a^3 \int_0^{2\pi} (1 -3\cos \theta +3\cos^2 \theta -\cos^3 \theta) \, d\theta \\
&=& \pi a^3 \int_0^{2\pi} \left( 1 -3\cos \theta + \frac{3(1 + \cos 2\theta)}{2} -\frac{\cos 3\theta + 3\cos \theta}{4} \right) \, d\theta \\
&=& \pi a^3 \int_0^{2\pi} \left( \frac{5}{2} -\frac{15}{4} \cos \theta +\frac{3}{2} \cos 2\theta -\frac{1}{4} \cos 3\theta \right) \, d\theta \\
&=& \pi a^3 \cdot \frac{5}{2} \cdot 2\pi \\
&=& 5\pi^2 a^2
\end{eqnarray}を得ます。
途中、倍角および3倍角の公式
倍角の公式 - 数式で独楽する
3倍角の公式 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
\cos 2\theta &=& 2\cos^2 \theta -1 \\
\cos 3\theta &=& 4\cos^3 \theta -3\cos \theta
\end{eqnarray}を用いています。
また、周期関数を周期にわたって積分すると0になり、定数の部分だけ残ります。
