数式で独楽する

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京大 2010年理系第5問その3

入試代数論理

次の問いに答えよ。
(1) $n$ を正の整数、 $a = 2^n$ とする。 $3^a -1$ は $2^{n +2}$ で割り切れるが $2^{n +3}$ で割り切れないことを示せ。
(2) $m$ を正の偶数とする。 $3^m -1$ が $2^m$ で割り切れるならば $m =2$ または $m =4$ であることを示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
解説

小問(1)の解答例

こちら
京大 2010年理系第5問その1 - 数式で独楽する

小問(2)の解答例

前半部分はこちら
京大 2010年理系第5問その2 - 数式で独楽する

小問(1)と補題(A)をまとめると、次のようになります。

n=1の場合

$m = 2(2l -1)$ とすると、 $3^m -1$ は、 $2^3$ で割り切れるが、 $2^4$ で割り切れません。

このことを踏まえると、
$m = 6,10,14, \cdots$ の場合、 $3^m -1$ は $2^m$ で割り切れません。
$m =2$ の場合、 $3^2 -1 =8$ は $2^3=8$ で割り切れるので $2^2$ でも割り切れます。

n=2の場合

$m = 4(2l -1)$ とすると、 $3^m -1$ は、 $2^4$ で割り切れるが、 $2^5$ で割り切れません。

このことを踏まえると、
$m = 12,20,28, \cdots$ の場合、 $3^m -1$ は $2^m$ で割り切れません。
$m =4$ の場合、 $3^4 -1 =80$ は $2^4=16$ で割り切れます。

n≧3の場合

$m = 2^n (2l -1)$ とすると、 $3^m -1$ は、 $2^{n +2}$ で割り切れるが、 $2^{n +3}$ で割り切れません。

ところが、 $m > n +2$ なので、 $3^m -1$ は $2^m$ で割り切れません。

まとめ

以上より、

$3^m -1$ が $2^m$ で割り切れるならば $m =2$ または $m =4$ である

ことが示されました。(証明終わり)

解説

小問(2)の証明、すなわち条件を満たすものは $m = 2,4$ のみであることを証明します。
小問(1)の情報だけで証明するのは、片や冪乗で片や倍数なので、かなり無理があります。
直接証明できないので、

$m=2,4$ 以外では成り立ち得ない。
$m=2,4$ であれば成り立つ。

ことを示すことになります。
そのための補題(A)ということです。