\begin{eqnarray}
\int \sec x \, dx = \int \frac{dx}{\cos x} &=& \frac{1}{2} \, \log \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} + C \\
&=& \log |\sec x + \tan x| + C
\end{eqnarray}
ただし、
\begin{equation}
x \ne 2n \pi \pm \frac{\pi}{2} \quad (n \in \mathbb{Z})
\end{equation}です。
取り付きにくい形になっていますが、落ち着いていきましょう。
まず、
\begin{eqnarray}
\int \sec x \, dx = \int \frac{dx}{\cos x} &=& \int \frac{\cos x \, dx}{\cos^2 x} \\
&=& \int \frac{\cos x \, dx}{1 - \sin^2 x}
\end{eqnarray}と変形します。
ここで
\begin{equation}
t = \sin x
\end{equation}と置きます。
\begin{equation}
dt = \cos x \, dx
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\int \sec x \, dx = \int \frac{dx}{\cos x} &=& \int \frac{dt}{1 - t^2} \\
&=& \int \frac{dt}{(1 + t)(1 - t)} \\
&=& \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{1 + t} + \frac{1}{1 - t} \right) \, dt
\end{eqnarray}となります。
分母を因数分解して、分数の積を分数の和に書き換えています。
置換積分 - 数式で独楽する
ここでようやく積分します。
\begin{eqnarray}
\int \sec x \, dx = \int \frac{dx}{\cos x} &=& \frac{1}{2} \bigl( \log |1 + t| - \log |1 - t| \bigr) + C \\
&=& \frac{1}{2} \, \log \frac{1 + t}{1 - t} + C
\end{eqnarray}なお、$-1 < t < t$なので絶対値記号を外してあります。
べき乗の不定積分 - 数式で独楽する
置き換えたを元に戻します。
\begin{equation}
\int \sec x \, dx = \int \frac{dx}{\cos x} = \frac{1}{2} \, \log \frac{1 + \sin x}{1 - \sin x} + C
\end{equation}を得ます。
変形を続けます。
\begin{eqnarray}
\int \sec x \, dx = \int \frac{dx}{\cos x} &=&\frac{1}{2} \, \log \frac{(1 + \sin x)^2}{1 - \sin^2 x} + C \\
&=& \frac{1}{2} \, \log \frac{(1 + \sin x)^2}{\cos^2 x} + C \\
&=& \log \left| \frac{1 + \sin x}{\cos x} \right| + C \\
&=& \log |\sec x + \tan x | + C
\end{eqnarray}を得ます。
なお、2行目までは真数は正ですが、3行目では平方が外れたことで負の場合も生じたので絶対値記号を付けています。
