定積分
を求めよ。
解答例
\begin{eqnarray}
\int_0^\frac{1}{2} x \sqrt{1 -2x^2} \, dx
&=& \left[ -\frac{1}{6} \left( 1 -2x^2 \right)^\frac{3}{2} \right]_0^\frac{1}{2} \\
&=& -\frac{1}{6} \left \{ \left( \frac{1}{2} \right)^\frac{3}{2} -1 \right \} \\
&=& \frac{1}{6} -\frac{\sqrt{2}}{24}
\end{eqnarray}
とすると、
\begin{eqnarray}
\sqrt{2} \, dx &=& \cos t \, dt \\
\sqrt{1 -2x^2} &=& \cos t
\end{eqnarray}です。
区間の対応は次の通りです。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & 0 & \to & \frac{1}{2} \\ \hline
t & 0 & \to & \frac{\pi}{4} \\ \hline
\end{array}
したがって、
\begin{eqnarray}
\int_0^\frac{1}{2} \sqrt{1 -2x^2} \, dx
&=& \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^\frac{\pi}{4} \cos^2 t \, dt \\
&=& \frac{1}{2 \sqrt{2}} \int_0^\frac{\pi}{4} (\cos 2t +1) \, dt \\
&=& \frac{\sqrt{2}}{4} \left[ \frac{1}{2} \, \sin 2t +t \right]_0^\frac{\pi}{4} \\
&=& \frac{\sqrt{2}}{4} \left( \frac{1}{2} +\frac{\pi}{4} \right) \\
&=& \frac{\sqrt{2}}{8} +\frac{\sqrt{2}}{16} \, \pi
\end{eqnarray}となります。
よって、
\begin{equation}
\int_0^\frac{1}{2} (x +1) \sqrt{1 -2x^2} \, dx
= \frac{1}{6} +\frac{\sqrt{2}}{12} +\frac{\sqrt{2}}{16} \, \pi
\end{equation}を得ます。
解説
括弧を外し、項別に置換積分しています。
