関数
\begin{equation}
f(x) = \frac{x}{x^2 +3}
\end{equation}に対して、のグラフを$C$とする。点A
における$C$の接線を
\begin{equation}
l: \ y = g(x)
\end{equation}とする。(1) $C$と$l$の共有点でAと異なるものがただ1つ存在することを示し、その点の$x$座標を求めよ。
(2) (1)で求めた共有点の$x$座標を$\alpha$とする。
\begin{equation}
\int_\alpha^1 \left \{ f(x) -g(x) \right \}^2 dx
\end{equation}を計算せよ。
小問(1)の解答例
\begin{equation}
f'(x) = \frac{x^2 +3 -2x^2}{(x^2 +3)^2} = \frac{-x^2 +3}{(x^2 +3)^2}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
f(1) &=& \frac{1}{4} \\
f'(1) &=& \frac{2}{16} = \frac{1}{8}
\end{eqnarray}となります。
したがって、接線$l$は
\begin{equation}
y = \frac{1}{8} (x -1) + \frac{1}{4}
\end{equation}であり、
\begin{equation}
g(x) = \frac{1}{8} (x +1)
\end{equation}を得ます。
\begin{eqnarray}
f(x) -g(x) &=& \frac{x}{x^2 +3} -\frac{1}{8} (x +1) \\
&=& \frac{8x -(x^3 +3x +x^2 +3)}{8(x^2 +3)} \\
&=& -\frac{x^3 +x^2 -5x +3}{8(x^2 +3)} \\
&=& -\frac{(x -1)^2 (x +3)}{8(x^2 +3)}
\end{eqnarray}なので、のとき
\begin{equation}
x = 1, -3
\end{equation}となります。
よって、A以外の共有点はただ1つ存在し、その$x$座標は-3となります。
小問(1)の解説
接線の方程式は容易に求められます。
曲線との共有点もとすれば求められます。
の分子は
を因数に持つので、因数分解は容易でしょう。
