関数
\begin{equation}
f(x) = \frac{x}{x^2 +3}
\end{equation}に対して、のグラフを$C$とする。点A
における$C$の接線を
\begin{equation}
l: \ y = g(x)
\end{equation}とする。(1) $C$と$l$の共有点でAと異なるものがただ1つ存在することを示し、その点の$x$座標を求めよ。
(2) (1)で求めた共有点の$x$座標を$\alpha$とする。
\begin{equation}
\int_\alpha^1 \left \{ f(x) -g(x) \right \}^2 dx
\end{equation}を計算せよ。
前回の続きです。
小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(1)の結果より、求める定積分は
\begin{equation}
I = \int_{-3}^1 \left \{ f(x) -g(x) \right \}^2 dx
\end{equation}となります。
\begin{eqnarray}
\left \{ f(x) -g(x) \right \}^2 &=& \left \{ \frac{x}{x^2 +3} -\frac{1}{8} (x +1) \right \}^2 \\
&=& \frac{x^2}{(x^2 +3)^2} -\frac{x(x +1)}{4(x^2 +3)} +\frac{1}{64} (x +1)^2 \\
&=& \frac{x^2}{(x^2 +3)^2} -\frac{1}{4} \left( 1 +\frac{x}{x^2 +3} -\frac{3}{x^2 +3} \right) +\frac{1}{64} (x +1)^2
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
I = \int_{-3}^1 \left \{ \frac{x^2}{(x^2 +3)^2} -\frac{1}{4} -\frac{x}{4(x^2 +3)} -\frac{3}{4(x^2 +3)} +\frac{1}{64} (x +1)^2 \right \} dx
\end{equation}です。
べき乗の不定積分 - 数式で独楽する
項別に積分を計算していきます。まず第2, 5, 3項です。
\begin{eqnarray}
I_2 &=& -\frac{1}{4} \int_{-3}^1 dx = -1 \\
I_5 &=& \frac{1}{64} \int_{-3}^1 (x +1)^2 dx \\
&=& \frac{1}{64} \left[ \frac{1}{3} (x +1)^3 \right]_{-3}^1 \\
&=& \frac{1}{64} \cdot \frac{1}{3} \left \{ 2^3 -(-2)^3 \right \} = \frac{1}{12} \\
I_3 &=& -\frac{1}{4} \int_{-3}^1 \frac{x}{x^2 +3} \, dx \\
&=& -\frac{1}{8} \biggl[ \log (x^2 +3) \biggr]_{-3}^1 \\
&=& -\frac{1}{8} \log \frac{4}{12} = \frac{1}{8} \log 3
\end{eqnarray}
第4, 1項は、変数を置換して積分します。
\begin{equation}
x = \sqrt{3} \tan \theta
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
dx = \frac{\sqrt{3} \, d\theta}{\cos^2 \theta}
\end{equation}で、積分区間は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & -3 & \to & 1 \\ \hline
\theta & \displaystyle -\frac{\pi}{3} & \to & \displaystyle \frac{\pi}{6} \\ \hline
\end{array}
\begin{eqnarray}
I_4 &=& -\frac{3}{4} \int_{-3}^1 \frac{dx}{x^2 +3} \\
&=& -\frac{3}{4} \int_{-\pi/3}^{\pi/6} \frac{1}{3(\tan^2 \theta +1)} \frac{\sqrt{3} \, d\theta}{\cos^2 \theta} \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{-\pi/3}^{\pi/6} d\theta \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{\pi}{6} +\frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{8} \pi \\
I_1 &=& \int_{-3}^1 \frac{x^2 \, dx}{(x^2 +3)^2} \\
&=& \int_{-\pi/3}^{\pi/6} \frac{3 \tan^2 \theta}{9(\tan^2 \theta +1)^2} \frac{\sqrt{3} \, d\theta}{\cos^2 \theta} \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{-\pi/3}^{\pi/6} \sin^2 \theta \, d\theta \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{-\pi/3}^{\pi/6} \frac{1 -\cos 2\theta}{2} d\theta \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{6} \left[ \theta -\frac{1}{2} \sin 2\theta \right]_{-\pi/3}^{\pi/6} \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{6} \left \{ \left( \frac{\pi}{6} +\frac{\pi}{3} \right) -\frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2} \right) \right \} \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{6} \left( \frac{\pi}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)
\end{eqnarray}
角の大きさを表現する その3 - 数式で独楽する
以上より、求める定積分は
\begin{eqnarray}
I &=& I_1 +I_2 +I_3 +I_4 +I_5 \\
&=& \frac{\sqrt{3}}{6} \left( \frac{\pi}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \right) -1 +\frac{1}{8} \log 3 +\frac{\sqrt{3}}{8} \, \pi +\frac{1}{12} \\
&=& \frac{5 \sqrt{3}}{24} \, \pi +\frac{1}{8} \log 3 -\frac{7}{6}
\end{eqnarray}と求められます。
小問(2)の解説
\begin{equation}
I = \int_{-3}^1 \frac{(x -1)^4 (x +3)^2}{64(x^2 +3)^2} \, dx
\end{equation}ですが、
\begin{equation}
\int_\alpha^\beta (x -\alpha)(x -\beta) dx = -\frac{1}{6} (\beta -\alpha)^3
\end{equation}と同じように考えると途方に暮れます。
バラバラにすると積分できる形が出てくるので、そちらが得策です。
