小問(1)の解答例
まず、
\begin{eqnarray}
f(0) &=& c = \alpha \tag{1} \\
f(1) &=& a +b +c = \beta \tag{2} \\
f(i) &=& -a +bi +c = \gamma \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(1)~(3)より、
\begin{eqnarray}
a +b &=& -\alpha +\beta \tag{4} \\
a -bi &=& \alpha -\gamma \tag{5}
\end{eqnarray}となります。
式(4), (5)より、
\begin{eqnarray}
a &=& \frac{(-\alpha +\beta) \, i +(\alpha -\gamma)}{1 +i} \\
&=& \frac{(1 -i)\alpha +i \beta -\gamma}{1 +i} \\
&=& \frac{(1 -i)^2 \alpha +i(1 -i)\beta -(1 -i)\gamma}{2} \\
&=& -i \alpha +\frac{1 +i}{2} \beta -\frac{1 -i}{2} \gamma \\
b &=& \frac{-2\alpha +\beta +\gamma}{1 +i} \\
&=& \frac{1 -i }{2}(-2\alpha +\beta +\gamma)
\end{eqnarray}を得ます。
以上より、を
で表すと、
\begin{eqnarray}
a &=& -i \alpha +\frac{1 +i}{2} \beta -\frac{1 -i}{2} \gamma \\
b &=& \frac{1 -i }{2}(-2\alpha +\beta +\gamma) \\
c &=& \alpha
\end{eqnarray}となります。
小問(2)の解答例
小問(1)の結果より、
\begin{eqnarray}
f(2) &=& 4a +2b +c \\
&=& -4i \alpha +2(1 +i)\beta -2(1 -i)\gamma +(1 -i)(-2\alpha +\beta +\gamma) +\alpha \\
&=& (-2 -i)\alpha +(3 +i)\beta +(-1 +i)\gamma
\end{eqnarray}を得ます。
はいずれも1以上2以下の実数なので、
の値は次のようになります。
\begin{array}{|ccc|c|}
\hline
\alpha & \beta & \gamma & f(2) \\ \hline
1 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & -2i \\
1 & 2 & 1 & 4 +i \\
1 & 1 & 2 & i \\
2 & 2 & 1 & 3 -i \\
1 & 2 & 2 & 3 +2i \\
2 & 1 & 2 & 1 -i \\
2 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
\end{array}
図示すると、のとりうる範囲は、図の着色部となります。境界線は含みます。
