2005年前期京大文系第3問 - 数式で独楽する

$\alpha, \beta$ は0でない相異なる複素数で、 $\displaystyle \frac{\alpha}{\beta} +\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}} = 2$ を満たすとする。このとき、 $\alpha, \beta, \gamma$ の表す複素平面上の3点を結んで得られる三角形はどのような三角形か。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
\frac{\alpha}{\beta} +\frac{\bar{\alpha}}{\bar{\beta}} = \frac{\alpha \bar{\beta} +\bar{\alpha} \beta}{|\beta|^2} = 2
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\alpha \bar{\beta} +\bar{\alpha} \beta = 2|\beta|^2
\end{equation}となります。

これより、
\begin{eqnarray}
|\alpha -\beta|^2 &=& (\alpha -\beta)(\bar{\alpha} -\bar{\beta}) \\
&=& |\alpha|^2 +|\beta|^2 -\alpha \bar{\beta} -\bar{\alpha} \beta \\
&=& |\alpha|^2 -|\beta|^2
\end{eqnarray}つまり
\begin{equation}
|\alpha -\beta|^2 +|\beta|^2 = |\alpha|
\end{equation}を得ます。
共軛複素数その2 - 数式で独楽する

三平方の定理の定理の逆三平方の定理の逆 - 数式で独楽する
により、 $0, \alpha, \beta$ は、頂点 $\beta$ を直角とする直角三角形をなすことが分かります。