京大 2020年前期理系第4問 - 数式で独楽する

正の整数に対し
\begin{equation}
a = 3^b \, c \quad (b, c\mbox{は整数で、$c$は3で割り切れない})
\end{equation}の形に書いたとき、 $B(a)=b$ と定める。例えば $B(3^2 \cdot 5) = 2$ である。
$m,n$ は整数で、次の条件を満たすとする。

(i) $1 \leqq m \leqq 30$
(ii) $1 \leqq n \leqq 30$
(iii) $n$ は3で割り切れない]

このような $(m,n)$ に対し、
\begin{equation}
f(m,n) = m^3 + n^2 + n + 3
\end{equation}とするとき、
\begin{equation}
A(m,n) = B(f(m,n))
\end{equation}の最大値を求めよ。また、 $A(m,n)$ の最大値を与えるような $(m,n)$ をすべて求めよ。

設問固有の表記を提示しています。条件も複雑です。文章を読むと、寄せ付けがたい雰囲を感じます。
「3で割り切れるかどうか」がこの設問のカギとなるようです。
そもそも、 $f(m,n)$ が3で割り切れるかどうかを評価する必要があります。3で割った余りがどうなるかを見ていくことにしましょう。

以下、答案です。

$A(m,n) \geqq 1$ となる条件

2数 $x,y$ を3で割った余りが等しいことを
\begin{equation}
x \equiv y \mod 3
\end{equation}と書きますが、ここでは単に
\begin{equation}
x\equiv y
\end{equation}と表すことにします。

\begin{array}{lllll}
m \equiv 0 & のとき & m^3 \equiv 0 && \\
m \equiv 1 & のとき & m^3 \equiv 1 && \\
m \equiv -1 & のとき & m^3 \equiv -1 && \\
n \equiv 1 & のとき & n^2 \equiv = 1 & なので & n^2 + n + 3 \equiv -1 \\
n \equiv -1 & のとき & n^2 \equiv = 1 & なので & n^2 + n + 3 \equiv 0
\end{array}です。設問で与えられた条件(iii)により、 $n \equiv 0$ の場合を除外しています。
これらを纏めると、 $f(m,n) \equiv 0$ すなわち $f(m,n)$ が3の倍数、つまり $A(m,n)\geqq 1$ となる条件は、
\begin{equation}
m \equiv 1, \ n\equiv 1
\end{equation}または
\begin{equation}
m \equiv 0, \ n \equiv -1
\end{equation}の場合となります。

$m \equiv 1, n \equiv 1$ の場合

すなわち
\begin{equation}
m = 3i + 1, \ n = 3j + 1 \quad (i,j = 0, 1, \cdots , 9)
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
f(m,n) &=& (3i + 1)^3 + (3j +1)^2 + (3j + 1) + 3 \\
&=& 3^3 i^3 + 3^3 i^2 + 3^2 i +1 + 3j^2 + 2\cdot 3j + 1 + 3j + 1 + 3 \\
&=& 3(3^2 i^3 + 3^2 i^2 + 3i + 3j^2 + 3j + 2)
\end{eqnarray}となります。
括弧( )の中は3の倍数ではないので、
\begin{equation}
A(m,n) = B(f(m,n)) = 1
\end{equation}となります。

$m \equiv 0, \ n \equiv -1$ の場合

すなわち
\begin{equation}
m = 3i, \ n = 3j -1 \quad (i,j = 1, 2, \cdots 10)
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
f(m,n) &=& (3i)^3 + (3j - 1)^2 + (3j - 1) + 3 \\
&=& 3^3 i^3 + 3^2 j^2 - 2\cdot 3j + 1 + 3j - 1 + 3 \\
&=& 3(3^2 i^3 + 3j^2 - j +1) \tag{1}
\end{eqnarray}となります。

$A(m,n) \geqq 2$ となる条件

式(1)の括弧( )の中が3の倍数になるための条件は、
\begin{equation}
j \equiv 1
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
j = 3k + 1 \quad (k = 0,1,2,3)
\end{equation}となります。

このとき、
\begin{eqnarray}
f(m,n) &=& 3 \left \{ 3^3 i^3 + 3(3k + 1)^2 - (3k + 1) + 1 \right \} \\
&=& 3(3^2 i^3 + 3^3 k^2 + 2\cdot 3^2 k + 3 -3k) \\
&=& 3 \left \{ 3^2(i^3 + 3k^2) + 5\cdot 3k + 3 \right \} \\
&=& 3^2 \left \{ 3(i^3 + 3k^2) + 5k +1 \right \} \tag{2}
\end{eqnarray}となります。

$A(m,n) \geqq 3$ となる条件

式(2)の括弧{ }の中が3の倍数となる条件は、
\begin{equation}
k = 1
\end{equation}です。 $j,n$ に戻していくと、
\begin{eqnarray}
j &=& 4 \\
n &=& 11
\end{eqnarray}となります。

このとき、
\begin{eqnarray}
f(m,11) &=& 3^2 \left \{ 3(i^3 + 3) + 6 \right \} \\
&=& 3^3 (i^3 + 5) \tag{3}
\end{eqnarray}となります。

$A(m,n) \geqq 4$ となる条件

式(3)の括弧( )の中が3の倍数となる条件は、
\begin{equation}
i \equiv 1
\end{equation}です。この場合、
\begin{equation}
i^3 \equiv 1
\end{equation}です。すなわち
\begin{equation}
k = 1,4,7,10
\end{equation}で、それぞれ
\begin{equation}
m = 3,12,21,30
\end{equation}です。

このとき、
\begin{eqnarray}
f(3,11) &=& 3^4 \cdot 2 \\
f(12,11) &=& 3^4 \cdot 13 \\
f(21,11) &=& 3^4 \cdot 116 \\
f(30,11) &=& 3^4 \cdot 335
\end{eqnarray}です。
2, 13, 116, 335は3の倍数ではないので、
\begin{equation}
A(m,n) = B(f(m,n)) =4
\end{equation}が最大値となります。

まとめ

以上より、
\begin{equation}
(m,n) = (3,11), \ (12,11), \ (21,11), \ (30, 11)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
A(m,n) = 4
\end{equation}なる最大値となります。