以下の分数式の中にある9個の□に、1から9までの整数をそれぞれ1個ずつあてはめていきます。
\begin{equation}
\frac{\fbox{A} \times \fbox{B} \times \fbox{C} \times \fbox{D} \times \fbox{E}}{\fbox{F} \times \fbox{G} \times \fbox{H} \times \fbox{I}}
\end{equation}
この式の値が整数となるとき、分母にあてはまる整数4個の組で
F < G < H < I
を満たすものをすべて求めなさい。
解答例
分数式の値を$N$
\begin{equation}
N = \frac{A \times B \times C \times D \times E}{F \times G \times H \times I}
\end{equation}とします。
あてはめる整数は、
\begin{equation}
1, \ 2, \ 3, \ 4=2^2, \ 5, \ 6=2\times 3, \ 7, \ 8=2^3, \ 9=3^2
\end{equation}です。
5, 7について
5も7も分母に入れると約分の術がなく、$N$は整数になりません。
したがって、
\begin{equation}
N = \frac{A \times B \times C \times 5 \times 7}{F \times G \times H \times I}
\end{equation}となります。
以下、分母に入る最大の数を$I$とします。
また、となるように適宜入れ替えていくこととします。
I=9の場合
\begin{equation}
N = \frac{A \times B \times C \times 5 \times 7}{F \times G \times H \times 9}
\end{equation}なので、分子には3と6が入ります。
\begin{equation}
N = \frac{A \times 3 \times 6 \times 5 \times 7}{F \times G \times H \times 9}
\end{equation}
ここで分母に8を入れると、$N$は整数になりません。
つまり、8は分子に入ることになります。
このとき、
\begin{equation}
N = \frac{3 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8}{1 \times 2 \times 4 \times 9}=70
\end{equation}は整数になります。
I=8の場合
9は分子に入り、
\begin{equation}
N = \frac{A \times B \times 5 \times 7 \times 9}{F \times G \times H \times 8}
\end{equation}となります。
必然的に2と4は分子に入ることになります。しかし分母に入る6の素因数2を約分する数は最早なく、$N$は整数になりません。
したがって、I=8は不適です。
I=6の場合
8, 9は分子に入り、
\begin{equation}
N = \frac{A \times 5 \times 7 \times 8 \times 9}{F \times G \times H \times 6}
\end{equation}となります。
2と4を同時に分母に入れると素因数2が約分されずに残ります。2と4は、分母と分子に分かれて入ります。
\begin{eqnarray}
N &=& \frac{4 \times 5 \times 7 \times 8 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 6} =280 \\
N &=& \frac{2 \times 5 \times 7 \times 8 \times 9}{1 \times 3 \times 4 \times 6} =70
\end{eqnarray}は共に整数です。
I=4の場合
5~9は分子に入ります。
\begin{equation}
N = \frac{5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9}{1 \times 2 \times 3 \times 4} = 630
\end{equation}は整数です。
まとめ
以上をまとめると、求める整数の組は
\begin{equation}
(F,G,H,I) = (1,2,3,4), (1,2,3,6), (1,3,4,6), (1,2,4,9)
\end{equation}の4組となります。
解説
分母の組合せは通りです。
5と7は分母に入り得ないことから絞り込みは容易です。素因数5と7を持つのはそれぞれ5と7しかありません。
あとはあり得ない組合せを潰していくことになります。
Iを分子に来る数の最大値とすることで、例えばI=6とすれば7, 8, 9は自動的に分子に来るという工夫をしています。
