四面体 OABC が次の条件を満たすならば, それは正四面体であることを示せ。
条件：頂点 A, B, C からそれぞれの対面を含む平面へ下ろした垂線は対面の重心を通る。
ただし, 四面体のある頂点の対面とは, その頂点を除く他の 3 つの頂点がなす三角形のことをいう。
解答例
\begin{eqnarray}
\vec{a} &=& \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\
\vec{b} &=& \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
\vec{c} &=& \overrightarrow{\mathrm{OC}}
\end{eqnarray}とします。
△OBCの重心Gは、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OG}} = \frac{1}{3} \, \vec{b} + \frac{1}{3} \, \vec{c}
\end{equation}で表されます。
したがって、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AG}}
&=& \overrightarrow{\mathrm{OG}} - \overrightarrow{\mathrm{OA}} \\
&=& -\vec{a} + \frac{1}{3} \, \vec{b} + \frac{1}{3} \, \vec{c}
\end{eqnarray}を得ます。
AGは平面OBCと垂直であることより、AG⊥OBおよびAG⊥OCなので、
\begin{eqnarray}
-\vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{3} \, |\vec{b}|^2 + \frac{1}{3} \, \vec{b} \cdot \vec{c} &=& 0 \tag{1} \\
-\vec{a} \cdot \vec{c} + \frac{1}{3} \, \vec{b} \cdot \vec{c} + \frac{1}{3} \, |\vec{c}|^2 &=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
同様に頂点B, Cについても、
\begin{eqnarray}
-\vec{b} \cdot \vec{c} + \frac{1}{3} \, |\vec{c}|^2 + \frac{1}{3} \, \vec{c} \cdot \vec{a} &=& 0 \tag{3} \\
-\vec{b} \cdot \vec{a} + \frac{1}{3} \, \vec{c} \cdot \vec{a} + \frac{1}{3} \, |\vec{a}|^2 &=& 0 \tag{4} \\
-\vec{c} \cdot \vec{a} + \frac{1}{3} \, |\vec{a}|^2 + \frac{1}{3} \, \vec{a} \cdot \vec{b} &=& 0 \tag{5} \\
-\vec{c} \cdot \vec{b} + \frac{1}{3} \, \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{3} \, |\vec{b}|^2 &=& 0 \tag{6}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(1), (6)より
\begin{equation}
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} \tag{7}
\end{equation}を、式(2), (3)より
\begin{equation}
\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} \tag{8}
\end{equation}を得ます。
式(7), (8)より、
\begin{equation}
\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{c} \cdot \vec{a} = k \tag{9}
\end{equation}とすると、式(1)~(6)より
\begin{equation}
|\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 = 2k \tag{10}
\end{equation}を得ます。
また、式(9), (10)より、
\begin{eqnarray}
|\vec{a} - \vec{b}|^2 &=& |\vec{a}|^2 -2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 2k \tag{11} \\
|\vec{b} - \vec{c}|^2 &=& |\vec{b}|^2 -2\vec{b} \cdot \vec{c} + |\vec{c}|^2 = 2k \tag{12} \\
|\vec{c} - \vec{a}|^2 &=& |\vec{c}|^2 -2\vec{c} \cdot \vec{a} + |\vec{a}|^2 = 2k \tag{13}
\end{eqnarray}を得ます。
式(10)~(13)より、四面体OABCの辺は全て長さが等しいことが分かります。
つまり、四面体OABCは正四面体ということが示されました。
解説
京大2016年 理系 第3問 - 数式で独楽する
と似た問題です。あちらが外心で、こちらが重心です。
こちらはベクトルで記述するのが分かり易いです。
垂線の足が対面の重心と一致するところから攻めていくことになります。
垂線は対面上の任意のベクトルと垂直であることを利用します。
正四面体であることの証明ですが、ここでは全ての辺の長さが等しいことを示しています。他のやり方もあります。
OA=OB=OCをまず示すところまでは同じで、3辺のなす角が60°であることを示すことも可能です。
