2018年 東大 理科 第2問

数列を
\begin{equation}
a_n = \frac{{}_{2n +1} C_n}{n!} \quad (n = 1, 2, \cdots)
\end{equation}で定める。

(1) とする。を既約分数と表したときの分母と分子を求めよ。

(2) が整数となるをすべて求めよ。

小問(1)の解答例

数列を組合せの定義に従って書き換えると
\begin{eqnarray}
a_n &=& \frac{(2n +1)!}{n! \, n! \, (n +1)!} \\
a_{n -1} &=& \frac{(2n -1)!}{(n -1)! \, (n -1)! \, n!}
\end{eqnarray}となります。
これより、
\begin{eqnarray}
\frac{a_n}{a_{n -1}} &=& \cfrac{\cfrac{(2n +1)!}{n! \, n ! \, (n +1)!}}{\ \cfrac{(2n -1)!}{(n -1)! \, (n -1)! \, n!} \ } \\
&=& \frac{(2n +1) \cdot 2n}{n^2 (n +1)} \\
&=& \frac{2(2n +1)}{n(n +1)}
\end{eqnarray}を得ます。

の場合、
\begin{eqnarray}
\frac{a_{2k}}{a_{2k -1}} &=& \frac{2(4k +1)}{2k(2k +1)} \\
&=& \frac{4k +1}{k(2k +1)}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
p_n &=& k(2k +1) &=& \frac{1}{2} \, n(n +1) \\
q_n &=& 4k +1 &=& 2n +1
\end{eqnarray}です。

の場合は、
\begin{eqnarray}
\frac{a_{2k -1}}{a_{2ak -2}} &=& \frac{2(4k -1)}{(2k -1) \cdot 2k} \\
&=& \frac{4k -1}{(2k -1)k}
\end{eqnarray}なので、
\begin{eqnarray}
p_n &=& (2k -1)k &=& \frac{1}{2} \, n(n +1) \\
q_n &=& 4k -1 &=& 2n +1
\end{eqnarray}です。

いずれの場合も
\begin{eqnarray}
p_n &=& \frac{1}{2} \, n(n +1) \\
q_n &=& 2n +1
\end{eqnarray}となります。

小問(2)の解答例

まず、
\begin{equation}
a_1 = {}_3 C_1 = 3
\end{equation}は整数です。

また、ならは整数です。
該当するは
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \, n(n +1) &=& 1 \\
n^2 +n -2 &=& 0 \\
(n -1)(n +2) &=& 0 \\
\therefore \quad n &=& 1
\end{eqnarray}となります。

さらに、ならとなります。
該当するのは
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \, n(n +1) &>& 2n +1 \\
n^2 +n &>& 4n +2 \\
n^2 -3n -2 &>& 0 \\
n &>& \frac{3 +\sqrt{17}}{2} \quad (\because \ n \geqq 1) \\
\therefore \quad n & \geqq & 4
\end{eqnarray}です。

を書き下していくと、次のようになります。
\begin{array}{c|ccc}
\hline
n & q_n & p_n & a_n \\ \hline
1 & 3 & 1 & 3 \\
2 & 5 & 3 & 5 \\
3 & 7 & 6 & \frac{35}{6} \\
4 & 9 & 10 & \frac{315}{60} = \frac{21}{4} \\
5& 11 & 15 & \frac{231}{60} = \frac{77}{20} \\
6 & 13 & 21 & \frac{1001}{420} = \frac{143}{60} \\
7 & 15 & 28 & \frac{2145}{1680} = \frac{143}{112} \\
8 & 17 & 36 & \frac{2431}{4032} < 1 \\ \hline
\end{array}
以下、
\begin{equation}
1 > a_8 > a_9 > \cdots
\end{equation}となります。

よって、が整数となるのは
\begin{equation}
n = 1, 2
\end{equation}のみです。

解説

小問(1)は、数列の定義に従って比を表すことになります。一目では分かりにくい形ですが、奇数、偶数で場合分けすればOKです。

小問(2)。問題文の書き方は限られた数しかないことを暗示しています。とは言え、そこに至るまでの計算が非常に煩雑です。