京大2021年理系第2問 - 数式で独楽する

曲線 $y = \displaystyle \frac{1}{2} (x^2 +1)$ 上のてPにおける接線は $x$ 軸と交わるものとし、その交点をQとする。線分PQの長さを $L$ とするとき、 $L$ が取りうる値の最小値を求めよ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
y' = x
\end{equation}なので、曲線上の点P $\displaystyle \left( t, \, \frac{1}{2} (t^2 +1) \right)$ における接線は、
\begin{equation}
y = t(x -t) +\frac{1}{2} (t^2 +1)
\end{equation}となります。整理して
\begin{equation}
y = tx -\frac{1}{2} (t^2 -1)
\end{equation}を得ます。接線は $x$ 軸と交わるので $t \ne 0$ です。
交点の $x$ 座標を求めるには、接線の式において $y=0$ とします。
\begin{equation}
0 = tx -\frac{1}{2} (t^2 -1)
\end{equation}より
\begin{equation}
x = \frac{t^2 -1}{2t}
\end{equation}を得ます。点Qの座標は
\begin{equation}
\left( \frac{t^2 -1}{2t}, \, 0 \right)
\end{equation}です。

したがって、
\begin{eqnarray}
L^2 &=& \left( t - \frac{t^2 -1}{2t} \right)^2 + \frac{1}{4} (t^2 +1) \\
&=& \frac{(t^2 +1)^2}{4t^2} + \frac{(t^2 +1)^2}{4} \\
&=& \frac{(t^2 +1)^3}{4t^2}
\end{eqnarray}を得ます。

ここで $u = t^2 >0, \ L^2 = f(u)$ とすると、
\begin{eqnarray}
f(u) &=& \frac{(u +1)^3}{4u} \\
f'(u) &=& \frac{3(u +1)^2 u -(u +1)^3}{4u^2} \\
&=& \frac{(u +1)^2 (2u -1)}{4u^2}
\end{eqnarray}となります。
増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
u & 0 & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots & +\infty \\ \hline
f'(u) && - & 0 & + & \\ \hline
f(u) & +\infty & \searrow && \nearrow & +\infty \\ \hline
\end{array}
したがって、 $L$ の最小値 $L_\mbox{min}$ について、
\begin{equation}
{L_\mbox{min}}^2 = f \left( \frac{1}{2} \right) = \cfrac{\left( \cfrac{1}{2} +1 \right)^3}{4 \cdot \cfrac{1}{2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{16}
\end{equation}すなわち
\begin{equation}
L_\mbox{min} = \frac{3 \sqrt{3}}{4}
\end{equation}を得ます。