円周率は、次のように表すことができます。
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{2} &=& 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{5} \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \right) + \frac{1}{7} \left( \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \right) + \cdots \\
\pi &=& 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n +1)(2n)!!} \\
\pi &=& 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (2n +1)} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
\end{eqnarray}
逆正弦関数の級数展開
\begin{eqnarray}
\sin^{-1} x &=& x + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) x^3 + \frac{1}{5} \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \right) x^5 + \frac{1}{7} \left( \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \right) x^7 + \cdots \\
\sin^{-1} x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n +1)(2n)!!} x^{2n+1} \\
\sin^{-1} x &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (2n +1)} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right) x^{2n+1}
\end{eqnarray}
逆正弦関数の級数展開 - 数式で独楽する
においてx=1とすれば得られます。
\begin{equation}
\sin^{-1} x = \frac{\pi}{2} \Longleftrightarrow \sin \frac{\pi}{2} = 1
\end{equation}なので、次の関係が得られます。
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{2} &=& 1 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{2} \right) + \frac{1}{5} \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \right) + \frac{1}{7} \left( \frac{5 \cdot 3 \cdot 1}{6 \cdot 4 \cdot 2} \right) + \cdots \\
\pi &=& 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2n -1)!!}{(2n +1)(2n)!!} \\
\pi &=& 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^n (2n +1)} \left( \begin{array}{c} 2n \\ n \end{array} \right)
\end{eqnarray}
