ガウス関数
\begin{equation}
f(x) = \exp \left( -\frac{x^2}{\sigma^2} \right)
\end{equation}のフーリエ変換は、\begin{equation}
\hat{f} \! (q) = \sqrt{\pi} \sigma \exp \left( -\frac{\sigma^2}{4} \, q^2 \right)
\end{equation}
ガウス関数のフーリエ変換についてみていきます。記号については次のリンクのものを用います。
フーリエ変換 - 数式で独楽する
定義に従ってフーリエ変換を求めていきます。
\begin{eqnarray}
\hat{f} \! (q) &=& \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty dx \, \exp \left[ -\frac{x^2}{\sigma^2} -iqx \right] \\
&=& \int_{-\infty}^{\infty} dx \, \exp \left[ -\frac{1}{\sigma^2} \left( x +\frac{iq}{2} \, \sigma^2 \right)^2 \right] \, \exp \left( -\frac{\sigma^2}{4} \, q^2 \right) \\
&=& \sqrt{\pi} \, \sigma \exp \left( -\frac{\sigma^2}{4} \, q^2 \right)
\end{eqnarray}となります。
ガウス関数のフーリエ変換は、ガウス関数になります。
なお、
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} dx \, \exp (-ax^2) = \sqrt{\frac{\pi}{a}}
\end{equation}です。
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