円周率は、次のように表すことができます。
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{4} &=& 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\
\frac{\pi}{4} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1}
\end{eqnarray}
逆正接関数の級数展開
\begin{equation}
\tan^{-1} x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n +1}
\end{equation}
逆正接関数の級数展開 - 数式で独楽する
においてx=1とすれば得られます。
\begin{equation}
\tan^{-1} 1 =\frac{\pi}{4} \Longleftrightarrow \tan \frac{\pi}{4} =1
\end{equation}なので、次の関係が得られます。
\begin{eqnarray}
\frac{\pi}{4} &=& 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \\
\frac{\pi}{4} &=& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n + 1}
\end{eqnarray}
