京大 2012年理系第1問(2) - 数式で独楽する

定積分 $\displaystyle \int_1^\sqrt{3} \frac{1}{x^2} \, \log \sqrt{1 +x^2} \, dx$ の値を求めよ。

解答例
解説

解答例

求める定積分を $I$ とします。
\begin{eqnarray}
I &=& \frac{1}{2} \int_1^\sqrt{3} \frac{1}{x^2} \, \log (1 +x^2) \, dx \\
&=& \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{x} \, \log (1 +x^2) \right]_1^\sqrt{3} +\frac{1}{2} \int_1^\sqrt{3} \frac{2x}{x(1 +x^2)} \, dx \\
\end{eqnarray}と変形できます。

第1項は、
\begin{eqnarray}
\left[ -\frac{1}{x} \, \log (1 +x^2) \right]_1^\sqrt{3} &=& -\frac{1}{\sqrt{3}} \, \log 4 +\log 2 \\
&=& \left( -\frac{2}{\sqrt{3}} +1 \right) \, \log 2
\end{eqnarray}です。

第2項について、
\begin{equation}
x = \tan \theta
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
\frac{dx}{1 +x^2} = d\theta
\end{equation}で、積分区間の対応は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccc|}
\hline
x & 1 & \to & \sqrt{3} \\ \hline
\theta & \pi/4 & \to & \pi/3 \\ \hline
\end{array}
したがって、
\begin{eqnarray}
\frac{1}{2} \int_1^\sqrt{3} \frac{2x}{x(1 +x^2)} \, dx &=& \int_1^\sqrt{3} \frac{dx}{1 +x^2} \\
&=& \int_{\pi/4}^{\pi/3} d\theta \\
&=& \frac{\pi}{12}
\end{eqnarray}を得ます。