京大 2012年理系第4問その1 - 数式で独楽する

(1) $\sqrt [3]{2}$ が無理数であることを証明せよ。
(2) $P(x)$ は有理数を係数とする $x$ の多項式で、 $P \left( \sqrt[3]{2} \right) =0$ を満たしているとする。このとき $P(x)$ は $x^3 -2$ で割り切れることを示せ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(1)の解説

小問(1)の解答例

$\sqrt[3]{2}$ が有理数であると仮定すると、互いに素な整数 $p,q$ を用いて
\begin{equation}
\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}
\end{equation}と表すことができます。

これより、
\begin{equation}
q^3 = 2p^3
\end{equation}となります。
つまり、 $q^3$ は偶数となります。
これにより、 $q$ は偶数となります。*1

さらに
\begin{equation}
q = 2k \quad (k \in \mathbb{Z})
\end{equation}とすると*2、
\begin{eqnarray}
8k^3 &=& 2p^3 \\
\therefore \quad p^3 &=& 4k^3
\end{eqnarray}となります。
つまり、 $p^3$ は偶数となります。
これにより、 $p$ は偶数になります。