京大 2012年 理系 第5問(p)

次の命題(p), (q)のそれぞれについて、正しいかどうかを答えよ。正しければ証明し、正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ。

(p) 正角形の頂点から3点を選んで内角の1つが60°である三角形を作ることができるならば、は3の倍数である。

(q) 後刻

解答例

正しい。

正角形の頂点から3点を選んで作った三角形の内角の1つが60°であるとき、その内角は正角形の外接円に相当します。
対応する中心角は120°となります。
この中心角は、円周を3等分することで得ることができます。

一方、正角形は、円周を等分することで作ることができます。

これらを踏まえると、正角形の2頂点で中心角120°をなすとき、他の頂点で内角が60°となる三角形を作ることができます。
以上より、は3の倍数ということが示されます。

解説

正角形とその3頂点で作る三角形が登場します。
補助線として外接円を描いてみると、三角形の内角は円周角となっていることが分かります。