2023年東大理科第4問その2 - 数式で独楽する

座標空間内の4点O(0, 0, 0), A(2, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 2, 3)を考える。
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OA}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OB}}, \ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC} = 1}$ を満たす点Pの座標を求めよ。
(2) 点Pから直線ABに垂線を下ろし、その垂線と直線ABの交点をHとする。 $\overrightarrow{\mathrm{OH}}$ を $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{OB}}$ を用いて表せ。
(3) 点Qを $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{3}{4} \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ により定め、Qを中心とする半径 $r$ の球面を $S$ を考える。 $S$ が三角形OHBと共有点を持つような $r$ の範囲を求めよ。ただし三角形OHBは3点O, H, Bを含む平面内にあり、周とその内部からなるものとする。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
解説

小問(1)の解答例

小問(2)の解答例

2023年東大理科第4問その1 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

与えられた条件と式(5)より
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OH}} &=& \frac{1}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\frac{2}{3} \, \overrightarrow{\mathrm{OB}} \\
&=& \frac{1}{3} \, (2,0,0) +\frac{2}{3} \, (1,1,1) \\
&=& \frac{1}{3} \, (4,2,2) \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& \frac{3}{4} \, \overrightarrow{\mathrm{OA}} +\overrightarrow{\mathrm{OP}} \\
&=& \frac{3}{4} \, (2,0,0) +(0,-1,1) \\
&=& \left( \frac{3}{2}, \ -1, \ 1 \right)
\end{eqnarray}を得ます。

\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OR}} = \frac{3}{4} \, \overrightarrow{\mathrm{OA}}
\end{equation}なる点Rは、点Qから平面OHBに下ろした垂線の足です。
球面 $S$ と平面OHBの共有点は、点Rを中心とする円となります。
球面 $S$ は、
\begin{equation}
\left( x -\frac{3}{2} \right)^2 +(y +1)^2 +(z -1)^2 = r^2
\end{equation}と表すことができます。

球面 $S$ が3点O, B, Hを通るときの $r^2$ の値は以下の通りです。

O	$r^2 = \frac{9}{4} +1 +1 = \frac{17}{4}$
B	$r^2 = \frac{1}{4} +0 +4 = \frac{17}{4}$
H	$r^2 = \frac{1}{36} +\frac{25}{9} +\frac{1}{9} = \frac{105}{36} = \frac{35}{12}$

$r^2$ が最小となる可能性があるのは、 $S$ が辺OHとなるときです。
OH上の点 $\displaystyle \left( \frac{4}{3} \, t, \ \frac{2}{3} \, t, \ \frac{2}{3} \, t \right) \ (0 \leqq t \leqq 1)$ が $S$ 上にあるとき、
\begin{eqnarray}
r^2 &=& \left( \frac{4}{3} \, t -\frac{3}{2} \right)^2 +\left( \frac{2}{3} \, t +1 \right)^2 +\left( \frac{2}{3} \, t -1 \right)^2 \\
&=& \frac{8}{3} \, t^2 -4t +\frac{17}{4} \\
&=& \frac{8}{3} \left( t -\frac{3}{4} \right)^2 +\frac{11}{4}
\end{eqnarray}となります。 $0 \leqq t \leqq 1$ の範囲における $r^2$ の