2002年前期京大理系第3問 - 数式で独楽する

$f(x) = x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +1$ は整数を係数とする。4次方程式 $f(x) = 0$ の重解を含めた4つの解のうち、2つは整数で残りの2つは虚数であるという。このとき $a,b,c$ の値を求めよ。

解答例
解説

解答例

4つの解を $s, \ t, \ u \pm iv$ とします。
$s,t$ は整数で、 $u,v$ は実数です。

解と係数の関係により、
\begin{eqnarray}
s +t +2u &=& -a \tag{1} \\
st +u^2 +v^2 +2(s +t)u &=& b \tag{2} \\
2stu +(s +t)(u^2 +v^2) &=& -c \tag{3} \\
st(u^2 +v^2) &=& 1 \tag{4}
\end{eqnarray}が成り立ちます。

式(1)において、 $s,t,a$ は整数なので、 $2u$ も整数です。

式(2)～(4)より、
\begin{eqnarray}
st +\frac{1}{st} +2(s +t)u &=& b \tag{5} \\
2stu +\frac{s +t}{st} &=& -c \tag{6}
\end{eqnarray}を得ます。

式(5)において、 $s,t, 2u, b$ は整数なので、 $\displaystyle \frac{1}{st}$ も整数です。つまり、
\begin{eqnarray}
st &=& 1 \\
s = t &=& \pm 1 \tag{7}
\end{eqnarray}を得ます。

これを式(4)に代入すると、
\begin{equation}
u^2 +v^2 = 1
\end{equation}となります。
$2u$ は整数なので、
\begin{equation}
u = 0, \ \pm \frac{1}{2}, \ \pm 1
\end{equation}に絞られます。
ところが $u = \pm 1$ の場合、 $v = 0$ となり、虚数解が得られません。
したがって、条件に合うのは
\begin{equation}
u = 0 , \ \pm \frac{1}{2} \tag{8}
\end{equation}となります。
ここまで、複号は任意です。

該当する $s,t,u,v$ に対し、 $a,b,c$ の値は次のようになります。
\begin{array}{ccc|ccc}
\hline
s=t & u & v & a & b & c \\ \hline
1 & \frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} & -3 & 4 & -3 \\
-1 & -\frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} & 3 & 4 & 3 \\
1 & -\frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} & -1 & 0 & -1 \\
-1 & \frac{1}{2} & \pm \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 & 0 & 1 \\
1 & 0 & \pm 1 & -2 & 2 & -2 \\
-1 & 0 & \pm 1 & 2 & 2 & 2 \\ \hline
\end{array}