京大 2010年 理系 第1問

四面体ABCDにおいて、と、と、とはそれぞれ垂直であるとする。頂点A、頂点Bおよび辺CDの中点Mを通る平面は、辺CDと直交することを示せ。

解答例

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{AC}} &-& \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{AD}} &=& \vec{d}
\end{eqnarray}とします。

与えられた条件より、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CB}} &=& \vec{c} \cdot (\vec{b} -\vec{c}) &=& 0 \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DB}} &=& \vec{d} \cdot (\vec{b} -\vec{d}) &=& 0 \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}} &=& \vec{b} \cdot (\vec{c} -\vec{d}) &=& 0 \tag{3}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(1), (2)は
\begin{eqnarray}
\left| \vec{c} \right|^2 &=& \vec{b} \cdot \vec{c} \tag{4} \\
\left| \vec{d} \right|^2 &=& \vec{b} \cdot \vec{d} \tag{5}
\end{eqnarray}と変形できます。

また、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AM}} = \frac{\vec{c} +\vec{d}}{2}
\end{equation}です。

このとき、式(3)~(5)より、
\begin{eqnarray}
2 \overrightarrow{\mathrm{AM}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{DC}}
&=& (\vec{c} +\vec{d}) \cdot (\vec{c} -\vec{d}) \\
&=& \left| \vec{c} \right|^2 -\left| \vec{d} \right|^2 \\
&=& \vec{b} \cdot (\vec{c} -\vec{d}) \\
&=& 0 \tag{6}
\end{eqnarray}となります。

式(3), (6)より、

• ABとAMは、辺CDと垂直

つまり、

• 平面ABMは、辺CDと垂直

であることが示されました。(証明終わり)

解説

• 直線が平面と垂直

とは、

• その直線が、平面上の2直線と垂直

ということです。
このことを踏まえて証明を行っています。